Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và bài tập áp dụng - TOANMATH.com

Bài ghi chép trình diễn công thức tính khoảng cách thân ái hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau vô hệ trục tọa chừng không khí Oxyz và chỉ dẫn vận dụng công thức giải một số trong những bài xích tập dượt trắc nghiệm tương quan.

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Cho hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau ${d_1}$ và ${d_2}$ đem phương trình: ${d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_1} + {a_1}t}\\
{y = {y_1} + {b_1}t}\\
{z = {z_1} + {c_1}t}
\end{array}} \right.$ và ${d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_2} + {a_2}t’}\\
{y = {y_2} + {b_2}t’}\\
{z = {z_2} + {c_2}t’}
\end{array}} \right.$ $\left( {t;t’ \in R} \right).$ Ta tính khoảng cách thân ái hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau ${d_1}$ và ${d_2}$ bám theo một trong số cơ hội sau:
Cách 1:

+ Bước 1: Xác toan những vectơ chỉ phương ${\vec a_1}$ của ${d_1}$, ${\vec a_2}$ của ${d_2}.$
+ Bước 2: Xác toan những điểm ${M_1} \in {d_1}$, ${M_2} \in {d_2}.$
+ Bước 3: Lúc cơ $d\left( {{d_1};{d_2}} \right)$ $ = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right]} \right|}}.$
Cách 2:

+ Bước 1: Gọi $H \in {d_1}$, $K \in {d_2}$ (lúc này $H$, $K$ đem toạ chừng dựa vào ẩn $t$, $t’$).
+ Bước 2: Xác toan $H$, $K$ dựa vào:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{HK \bot {d_1}}\\
{HK \bot {d_2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec a}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec a}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
+ Bước 3: Lúc đó: $d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = HK.$
Nhận xét: Trong nhiều vấn đề đòi hỏi ghi chép phương trình đàng vuông góc chung thì nên dùng cơ hội 2.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
A. $d = \sqrt 3 .$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = 2\sqrt 3 .$
D. $d = 3\sqrt 3 .$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau.
Cách 1: (Tính chừng nhiều năm đoạn vuông góc chung).
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = 2 – t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2k}\\
{y = – k}\\
{z = 1 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) \in {\Delta _1}$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc cộng đồng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = ( – 1; – 1; – 1)$ $ \Rightarrow d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = HK = \sqrt 3 .$
Cách 2: (Sử dụng công thức).
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Chọn $A(2;1;2) \in {\Delta _1}$, $B(1;0;1) \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1; – 1).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \sqrt 3 .$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là những điểm bất kì thứu tự nằm trong ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$ Tính chừng nhiều năm nhanh nhất của đoạn trực tiếp $MN.$
A. $2\sqrt 3 .$
B. $\sqrt 3 .$
C. $4\sqrt 3 .$
D. $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau. Độ nhiều năm nhanh nhất của đoạn trực tiếp $MN$ là khoảng cách thân ái hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}.$
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Chọn $A(2;1;2) \in {\Delta _1}$, $B(1;0;1) \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1; – 1).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \sqrt 3 $ $ \Rightarrow M{N_{\min }} = \sqrt 3 .$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, ghi chép phương trình mặt mày cầu đem nửa đường kính nhỏ nhất và mặt khác xúc tiếp với hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
A. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{3}{2}} \right)^2} = 3.$
B. ${\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}.$
C. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}.$
D. ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 1)^2} = \frac{3}{4}.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau. Gọi $HK$ là đoạn vuông góc cộng đồng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Rightarrow $ mặt cầu cần thiết mò mẫm là mặt mày cầu đem 2 lần bán kính $HK.$
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = 2 – t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2k}\\
{y = – k}\\
{z = 1 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) \in {\Delta _1}$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc cộng đồng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = ( – 1; – 1; – 1)$ $ \Rightarrow HK = \sqrt 3 .$
Mặt cầu cần thiết mò mẫm đem tâm $I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$ là trung điểm $HK$, nửa đường kính $R = \frac{{HK}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ đem phương trình: $(S):{\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, gọi $\vec u(1;a;b)$ $(a;b \in R)$ là một trong vectơ chỉ phương của đàng vuông góc cộng đồng của hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$ Tính tổng $S = a + b.$
A. $S=2.$
B. $S=-2.$
C. $S=4.$
D. $S=-4.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau.
Cách 1: (Tìm đoạn vuông góc chung).
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = 2 – t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2k}\\
{y = – k}\\
{z = 1 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) \in {\Delta _1}$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc cộng đồng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = ( – 1; – 1; – 1).$
Đường vuông góc cộng đồng đem vectơ chỉ phương dạng $m\overrightarrow {HK} $ $(m \in R,m \ne 0)$, kể từ fake thiết suy rời khỏi $a = 1$, $b = 1$ $ \Rightarrow S = a + b = 2.$
Cách 2:
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Do $\vec u(1;a;b)$ là một trong vectơ chỉ phương của đàng vuông góc cộng đồng của hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ suy ra:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec u.{{\vec u}_1} = 0}\\
{\vec u.{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 1 + 2a – b = 0}\\
{2 – a – b = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1}\\
{b = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \vec u = (1;1;1).$
Vậy $a = 1$, $b = 1$ $ \Rightarrow S = a + b = 2.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, ghi chép phương trình đàng vuông góc cộng đồng của hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau.
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;1; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4;2;1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t}\\
{y = t}\\
{z = 1 – t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 4k}\\
{y = – 1 + 2k}\\
{z = – 1 + k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(1 – t;t;1 – t) \in {\Delta _1}$, $K(2 + 4k; – 1 + 2k; – 1 + k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc cộng đồng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(1;0;1)$, $K(2; – 1; – 1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = (1; – 1; – 2).$
Đường vuông góc cộng đồng cần thiết mò mẫm là đường thẳng liền mạch qua loa $H(1;0;1)$ và mang trong mình một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {HK} = (1; – 1; – 2)$, đem phương trình: $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 6: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$
A. $d = \sqrt 6 .$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = 2\sqrt 3 .$
D. $d = 3.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau.
Cách 1: (Tính chừng nhiều năm đoạn vuông góc chung).
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 4k}\\
{y = 3 – k}\\
{z = 3 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) \in {\Delta _1}$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc cộng đồng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = (1;2;2)$ $ \Rightarrow d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = HK = 3.$
Cách 2: (Sử dụng công thức).
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Chọn $A(2;1;1) \in {\Delta _1}$, $B(3;3;3) \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = (1;2;2).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = 3.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 7: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, ghi chép phương trình đàng vuông góc cộng đồng của hai tuyến đường thẳng: ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$
A. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
B. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{2}.$
C. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 2}}{2}.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau.
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 4k}\\
{y = 3 – k}\\
{z = 3 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) \in {\Delta _1}$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc cộng đồng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = (1;2;2).$
Đường vuông góc cộng đồng cần thiết mò mẫm là đường thẳng liền mạch qua loa $H(2;1;1)$ và mang trong mình một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {HK} = (1;2;2)$, đem phương trình: $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{2}.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 8: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là những điểm bất kì thứu tự nằm trong ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ Tính chừng nhiều năm nhanh nhất của đoạn trực tiếp $MN.$
A. $2\sqrt 3 .$
B. $3.$
C. $4\sqrt 3 .$
D. $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau. Độ nhiều năm nhanh nhất của đoạn trực tiếp $MN$ là khoảng cách thân ái hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}.$
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Chọn $A(2;1;1) \in {\Delta _1}$, $B(3;3;3) \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = (1;2;2).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = 3$ $ \Rightarrow M{N_{\min }} = 3.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 9: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, ghi chép phương trình mặt mày cầu đem nửa đường kính nhỏ nhất và mặt khác xúc tiếp với hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$
A. ${\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 2)^2} = \frac{9}{4}.$
B. ${\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 2)^2} = \frac{9}{4}.$
C. ${\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 2)^2} = \frac{9}{2}.$
D. ${\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 2)^2} = \frac{9}{4}.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau. Gọi $HK$ là đoạn vuông góc cộng đồng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$, suy ra mặt cầu cần thiết mò mẫm là mặt mày cầu đem 2 lần bán kính $HK.$
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 4k}\\
{y = 3 – k}\\
{z = 3 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) \in {\Delta _1}$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc cộng đồng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = (1;2;2)$ $ \Rightarrow HK = 3.$
Mặt cầu cần thiết mò mẫm đem tâm $I\left( {\frac{5}{2};2;2} \right)$ là trung điểm $HK$, nửa đường kính $R = \frac{{HK}}{2} = \frac{3}{2}$ đem phương trình: $(S):{\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 2)^2} = \frac{9}{4}.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 10: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai tuyến đường trực tiếp $\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{1}$ và trục $Oy.$
A. $d = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}.$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
D. $d = 3.$

Lời giải:
Kiểm tra được $\Delta $ và $Oy$ chéo cánh nhau.
Đường trực tiếp $\Delta $ mang trong mình một vectơ chỉ phương là ${\vec u_\Delta } = (2;1; – 1).$
Đường trực tiếp chứa chấp trục $Oy$ mang trong mình một vectơ chỉ phương là $\vec u = (0;1;0).$
Chọn $O(0;0;0) \in Oy$, $A(1;0; – 4) \in \Delta $ $ \Rightarrow \overrightarrow {OA} = (1;0; – 4).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {OA} .\left[ {\vec u,{{\vec u}_\Delta }} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,{{\vec u}_\Delta }} \right]} \right|}} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
Chọn đáp án C.

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. ĐỀ BÀI
Câu 1: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, ghi chép phương trình đàng vuông góc cộng đồng của hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, $\Delta_{2}: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{-1}.$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
C. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{1}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{1}.$

Câu 2: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$
A. $d = \sqrt 6 .$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = 2\sqrt 3 .$
D. $d = 3\sqrt 3 .$

Câu 3: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là những điểm bất kì thứu tự nằm trong ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$ Tính chừng nhiều năm nhanh nhất của đoạn trực tiếp $MN.$
A. $2\sqrt 3 .$
B. $\sqrt 6 .$
C. ${4\sqrt 3 .}$
D. ${\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.}$

Câu 4: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, ghi chép phương trình mặt mày cầu đem nửa đường kính nhỏ nhất và mặt khác xúc tiếp với hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$
A. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {z^2} = \frac{3}{4}.$
B. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {z^2} = \frac{3}{2}.$
C. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {z^2} = \frac{3}{2}.$
D. ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 1)^2} = \frac{3}{4}.$

Câu 5: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là những điểm bất kì thứu tự nằm trong $\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{{ – 1}}$ và trục $Oy.$ Tính chừng nhiều năm nhanh nhất của đoạn trực tiếp $MN.$
A. $2\sqrt 3 .$
B. $\frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
C. $4\sqrt 3 .$
D. $\frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$

Câu 6: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai tuyến đường trực tiếp $\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ – 2}} = \frac{{z + 2}}{2}$ và trục $Oz.$
A. $d = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}.$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
D. $d = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$

Câu 7: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, cho tới tứ diện $ABCD$ với $A(1;1;2)$, $B(-3;3;4)$, $C(0;2;2)$, $D(0;1;-1).$ Tính khoảng cách $d$ thân ái hai tuyến đường trực tiếp $AC$ và $BD.$
A. $d = \frac{{2\sqrt {11} }}{{11}}.$
B. $d = \frac{{\sqrt {51} }}{{51}}.$
C. $d = \frac{{8\sqrt {51} }}{{51}}.$
D. $d = \frac{{2\sqrt {15} }}{{11}}.$

Câu 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ đem lòng $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1$, $AD=2$, $SA$ vuông góc với lòng và $SA=2.$ Gọi $M$, $N$ thứu tự là trung điểm của những cạnh $SD$, $BC$, tính khoảng cách $d$ thân ái hai tuyến đường trực tiếp $CM$ và $AN.$
A. $d = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.$
B. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
C. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{6}.$
D. $d = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Câu 9: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa đường thẳng liền mạch $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$ và mặt mày bằng $(P):x + hắn + 2z + 3 = 0.$
A. $d = \sqrt 3 .$
B. $d = \frac{1}{3}.$
C. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
D. $d = \frac{2}{3}.$

Câu 10: Trong không khí với hệ tọa chừng $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là những điểm bất kì thứu tự nằm trong $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$ và mặt mày bằng $(P):x + hắn + 2z + 3 = 0.$ Tính chừng nhiều năm nhỏ nhất của đoạn trực tiếp $MN.$
A. $d = \sqrt 3 .$
B. $d = \frac{1}{3}.$
C. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
D. $d = \frac{2}{3}.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN