• Tìm kiếm

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

avatar
admin
01:40 11/01/2025

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi đua nhập lớp 10

Tìm độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp lốt căn là chuyên mục ôn thi đua nhập lớp 10 hoặc, chỉ dẫn những em học viên cơ hội lần GTLN và GTNN của biểu thức chứa chấp căn, kèm cặp bài xích tập dượt áp dụng cho những em xem thêm và rèn luyện.

I. Nhắc lại về kiểu cách lần GTLN và GTNN của biểu thức chứa chấp căn

+ Cách 1: Biến thay đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một vài ko âm với hằng số

- Khi đổi khác biểu thức trở nên tổng của một vài ko âm với hằng số, tớ tiếp tục tìm kiếm được độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức ấy.

- Khi đổi khác biểu thức trở nên hiệu của một vài với một vài ko âm, tớ tiếp tục tìm kiếm được độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức ấy.

+ Cách 2: gí dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

- Theo bất đẳng thức Cauchy với nhì số a, b ko âm tớ có: a + b \ge 2\sqrt {ab}\(a + b \ge 2\sqrt {ab}\)

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b

+ Cách 3: gí dụng bất đẳng thức chứa chấp lốt độ quý hiếm tuyệt đối:

  • |a| + |b| ≥ |a + b|. Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a.b ≥ 0
  • |a - b| ≤ |a| + |b|. Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a.b ≤ 0

II. Bài tập dượt ví dụ về sự việc lần GTLN và GTNN của biểu thức chứa chấp căn

Bài 1: Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức  A = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\(A = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\)

Lời giải:

Điều khiếu nại xác lập x ≥ 0

Để A đạt độ quý hiếm lớn số 1 thì x - \sqrt x + 1\(x - \sqrt x + 1\) đạt độ quý hiếm nhỏ nhất

Có x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\(x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Lại đem {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0\({\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0\)

Dấu “=” xẩy ra \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\(\Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Minx - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\(x - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Vậy MaxA = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\(A = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Bài 2: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\)

a, Rút gọn gàng A

b, Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức P = A - 9\sqrt x\(P = A - 9\sqrt x\)

Lời giải:

a, A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\) với x > 0, x ≠ 1

= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\(= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\)

= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\(= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\)

b,P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\(P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\) với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, vận dụng bất đẳng thức Cauchy có: \frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6\(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6\)

\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow P.. \le - 5\(\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow P.. \le - 5\)

Dấu “=” xẩy ra \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\(\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)(thỏa mãn)

Vậy maxP = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\(P = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)

Bài 3: Cho biểu thức A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}\(A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}\)với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn gàng A

b, Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của A

Lời giải:

a, A=\left({\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}+\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}}\right)-\frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}\(A=\left({\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}+\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}}\right)-\frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}\)với x ≥ 0, x ≠ 4

= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\(= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\)

= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\(= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\)

= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\(= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\)

= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}\(= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}\)

b, Có x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}\(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}\)

Dấu “=” xẩy ra ⇔ x = 0

Vậy minA=\frac{{ - 3}}{2}\Leftrightarrow x=0\(A=\frac{{ - 3}}{2}\Leftrightarrow x=0\)

III. Bài tập dượt tự động luyện về lần GTLN và GTNN của biểu thức chứa chấp căn

Bài 1: Tìm độ quý hiếm của x nguyên vẹn nhằm những biểu thức sau đạt độ quý hiếm rộng lớn nhất:

a. A = \sqrt 3 - \sqrt {x - 1}\(A = \sqrt 3 - \sqrt {x - 1}\)

b. B = 6\sqrt x - x - 1\(B = 6\sqrt x - x - 1\)

c. C = \frac{1}{{x - \sqrt x - 1}}\(C = \frac{1}{{x - \sqrt x - 1}}\)

Bài 2: Cho biểu thức:

A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)\(A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)\)

a. Tính độ quý hiếm của biểu thức A Lúc x = 9

b. Rút gọn gàng biểu thức B

c. Tìm toàn bộ những độ quý hiếm nguyên vẹn của x nhằm biểu thức A.B đạt độ quý hiếm nguyên vẹn lớn số 1.

Bài 3: Cho biểu thức: A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}\(A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}\). Tìm độ quý hiếm của x nhằm A đạt độ quý hiếm lớn số 1.

Bài 4: Với x > 0, hãy lần độ quý hiếm lớn số 1 của từng biểu thức sau:

Bài 5: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x - 2}}\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x - 2}}\)

a, Rút gọn gàng biểu thức A

b, Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của A

Bài 6: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

a, Tìm ĐK xác lập và rút gọn gàng A

b, Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của A

Bài 7: Cho biểu thức M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\(M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\)

a, Tìm ĐK xác lập và rút gọn gàng M

b, Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của M

Bài 8: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của từng biểu thức sau:

Bài 9. Cho x,nó không giống 0 vừa lòng 2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\(2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\). Tìm GTLN, GTNN của A= xy

Bài 10. Cho x,nó là nhì số thực vừa lòng 2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\(2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\) . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

3. Cho x,y>0 vừa lòng x+y=1. Tìm GTNN của A = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy\(A = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy\)

Bài 11: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của từng biểu thức sau: