Công thức lượng giác và cách giải bài tập (hay, chi tiết).

• Lý thuyêt bài bác tập luyện Công thức lượng giác
• Các dạng bài bác tập luyện Công thức lượng giác
• Bài tập luyện tự động luyện Công thức lượng giác

Công thức lượng giác và cơ hội giải bài bác tập

1. Lý thuyết

a. Công thức cộng:

$\sin (a+b)=\sin a.\cos b+\sin b.\cos a$

$\sin (a-b)=\sin a.\cos b-\sin b.\cos a$

$\cos (a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b$

$\cos (a-b)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b$

$\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}$

$\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$

b. Công thức nhân song, hạ bậc:

* Công thức nhân đôi:

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha .\cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

* Công thức hạ bậc:

 $\begin{array}{c}{\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}\\ {\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}\\ {\tan }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\end{array}$    

* Công thức nhân ba:

$\begin{array}{l}\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha \\ cos3\alpha =4co{s}^3\alpha -3cos\alpha \end{array}$

c. Công thức chuyển đổi tích trở thành tổng:

$\begin{array}{l}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)+\cos (a-b)\right]\\ \sin a\sin b=-\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)-\cos (a-b)\right]\\ \sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin (a+b)+\sin (a-b)\right]\end{array}$

d. Công thức đại dương thay đổi tổng trở thành tích:

2. Các dạng bài

Dạng 3.1: Tính độ quý hiếm lượng giác của góc quánh biệt

a. Phương pháp giải:

- Sử dụng khái niệm độ quý hiếm lượng giá bán của một góc.

- Sử dụng đặc điểm và độ quý hiếm lượng giác đặc biệt quan trọng.

- Sử dụng những công thức lượng giác.

b. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính:

a. $\cos \frac{37\pi }{12}$;

b. $\tan \frac{\pi }{24}+\tan \frac{7\pi }{24}$.

Lời giải:

a. $\cos \frac{37\pi }{12}$$=\cos \left(2\pi +\pi +\frac{\pi }{12}\right)$

$=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{12}\right)$

$=-\cos \left(\frac{\pi }{12}\right)$

$=-\cos \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)$

$=-\left(\cos \frac{\pi }{3}.\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{3}.sin\frac{\pi }{4}\right)$

$=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

b.$\tan \frac{\pi }{24}+\tan \frac{7\pi }{24}=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{24}.\cos \frac{7\pi }{24}}$

$=\frac{\sqrt{3}}{\cos \frac{\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{4}}=2\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)$

Ví dụ 2: Tính:

a. $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ biết $\sin x=\frac{3}{5}$ với $\frac{\pi }{2}<x<\pi$;

b. $\cos \left(\alpha -\beta \right)$ biết $\sin \alpha =\frac{5}{13}$, $\left(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \right)$ và , $\left(0<\beta <\frac{\pi }{2}\right)$.

Lời giải:

a. Ta có:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\Rightarrow \cos x=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\pm \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\pm \frac{4}{5}$  .

Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\cos x=-\frac{4}{5}$ 

Do ê $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{3}{4}$.

Ta có: $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan x+\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan x.\tan \frac{\pi }{4}}=\frac{-\frac{3}{4}+1}{1+\frac{3}{4}}=\frac{1}{7}$.

b. Ta có:

$\sin \alpha =\frac{5}{13}$, $\left(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \right)$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=-\frac{12}{13}$.

$\cos \beta =\frac{3}{5}$, $\left(0<\beta <\frac{\pi }{2}\right)$ nên $\sin \beta =\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$.

$\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ $=-\frac{12}{13}.\frac{3}{5}+\frac{5}{13}.\frac{4}{5}=-\frac{16}{65}$ .

Dạng 3.2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức nằm trong, công thức nhân song, công thức hạ bậc, công thức chuyển đổi tổng kết quả, công thức chuyển đổi tích trở thành tổng) và những độ quý hiếm lượng giác của những góc tương quan đặc biệt quan trọng nhằm tiến hành luật lệ chuyển đổi.

Ta lựa lựa chọn 1 trong số cơ hội chuyển đổi sau:

* Cách 1: Dùng hệ thức lượng giác chuyển đổi một vế trở thành vế còn sót lại (vế trái ngược trở thành vế cần hoặc vế cần trở thành vế trái)

* Cách 2: Biến thay đổi đẳng thức cần thiết chứng tỏ về một đẳng thức vẫn biết là luôn luôn chính.

* Cách 3: Biến thay đổi một đẳng thức vẫn biết là luôn luôn chính trở thành đẳng thức cần thiết chứng tỏ.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a. $si{n}^{4}x+co{s}^{4}x= \frac{1}{4}cos4x+\frac{3}{4}$
b. $cos3x.si{n}^{3}x+sin3x.co{s}^{3}x=\frac{3}{4}sin4x$

Lời giải:

a. (Áp dụng công thức hạ bậc) Ta có:

$VT={\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$

$={({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$

$=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=1-\frac{1}{2}.\frac{1-\cos 4x}{2}$

$=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x=VP$

Suy đi ra đpcm.

b. (Áp dụng công thức góc nhân ba) Ta có:

$VT= \frac{1}{4}\cos 3x\left(3sinx-sin3x\right)+ \frac{1}{4}\sin 3x\left(3cosx+cos3x\right)$

$=\frac{3}{4}\left(sinx.cos3x+cosx.sin3x\right)=\frac{3}{4}sin4x=VP$

Suy đi ra đpcm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

$\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \left(\frac{A+C}{2}\right)}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \left(\frac{A+C}{2}\right)}-\frac{\cos (A+C)}{\sin B}.\tan B=2$

Lời giải:

Do tam giác ABC với $A+B+C={180}^0$, suy ra $A+C={180}^0-B$

Do ê, tớ có:

$VT=\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \left(\frac{{180}^0-B}{2}\right)}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \left(\frac{{180}^0-B}{2}\right)}-\frac{\cos \left({180}^0-B\right)}{\sin B}.\tan B$

$=\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\cos \frac{B}{2}}-\frac{-\cos B}{\sin B}.\tan B$

$={\sin }^2\frac{B}{2}+{\cos }^2\frac{B}{2}+1=2=VP$

Suy đi ra đpcm.

Dạng 3.3: Thu gọn gàng biểu thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức nằm trong, công thức nhân song, công thức hạ bậc, công thức chuyển đổi tổng kết quả, công thức chuyển đổi tích trở thành tổng) và những độ quý hiếm lượng giác của những góc tương quan đặc biệt quan trọng để mang biểu thức ban sơ trở thành đơn giản và giản dị, cụt gọn gàng rộng lớn.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Rút gọn gàng biểu thức:

a. $A=cos10x+2co{s}^{2}4x+6cos3x.\cos x-\cos x-8\cos x.co{s}^{3}3x$

b. $B=\frac{\sin 3x+\cos 2x-\sin x}{\cos x+\sin 2x-\cos 3x}\left(\sin 2x\ne 0;2\sin x+1\ne 0\right)$

Hướng dẫn:​

a. Ta có:

$A=cos10x+(1+cos8x)-\cos x-2(4co{s}^{3}3x-3cos3x)cosx$

$=(\cos 10x+\cos 8x)+1-\cos x-2\cos 9x.\cos x$

$=2cos9x.\cos x+1-\cos x-2cos9x.\cos x=1-\cos x$

b. Ta có:

$B=\frac{\sin 3x+\cos 2x-\sin x}{\cos x+\sin 2x-\cos 3x}$

$=\frac{2\cos 2x\sin x+\cos 2x}{-2\sin 2x\sin (-x)+\sin 2x}$

$=\frac{2\cos 2x\sin x+\cos 2x}{2\sin 2x\sin x+\sin 2x}$

$=\frac{\cos 2x(1+2\sin x)}{\sin 2x(1+2\sin x)}=\cot 2x$

Ví dụ 2: Rút gọn gàng biểu thức: $C={\sin }^{2}x+2\sin \left(a–x\right).\sin x.\cos a+{\sin }^2\left(a–x\right)$.

Lời giải:

$C={\sin }^{2}x+2\sin \left(a–x\right).\sin x.\cos a+{\sin }^2\left(a–x\right)$

$={\sin }^{2}x+\sin \left(a-x\right)\left(2\sin x\cos a+\sin \left(a-x\right)\right)$

$={\sin }^{2}x+\sin \left(a-x\right)\left(2\sin x\cos a+\sin a\cos x-\cos a\sin x\right)$

$={\sin }^{2}x+\sin \left(a-x\right)\left(\sin x\cos a+\sin a\cos x\right)$

$={\sin }^{2}x+\sin \left(a-x\right)\sin \left(a+x\right)={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(\cos 2x-\cos 2a\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(1-2{\sin }^{2}x-(1-2si{n}^{2}a)\right)$

$={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}a-{\sin }^{2}x={\sin }^{2}a$

Dạng 3.4: Chứng minh biểu thức ko tùy theo biến

a. Phương pháp giải:

Chứng minh biểu thức ko tùy theo đổi thay tức là sau thời điểm rút gọn gàng biểu thức tớ được thành phẩm ko chứa chấp đổi thay. Do ê, nhằm giải dạng toán này, tớ dùng công thức lượng giác (công thức nằm trong, công thức nhân song, công thức chuyển đổi tổng kết quả, công thức chuyển đổi tích trở thành tổng) và những độ quý hiếm lượng giác của những góc tương quan đặc biệt quan trọng để mang biểu thức ban sơ trở thành đơn giản và giản dị, cụt gọn gàng rộng lớn. Nếu biểu thức sau thời điểm thu gọn gàng ko chứa chấp đổi thay, tớ suy đi ra điều cần chứng tỏ.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau ko tùy theo x:

$A={\cos }^{2}x+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}+x\right)+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}-x\right)$

Lời giải:

Ta có:

$A={\cos }^{2}x+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}+x\right)+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}-x\right)$

$={\cos }^{2}x+{\left(\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)}^2$

$={\cos }^{2}x+\frac{1}{4}{\cos }^{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\sin x+\frac{3}{4}{\sin }^{2}x+\frac{1}{4}{\cos }^{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\sin x+\frac{3}{4}{\sin }^{2}x$

$=\frac{3}{2}{\cos }^{2}x+\frac{3}{2}{\sin }^{2}x$

$=\frac{3}{2}\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)$

$=\frac{3}{2}$

Vậy biểu thức vẫn mang lại ko tùy theo x.

Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau ko tùy theo x:

$C=2{\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right)}^2–\left({\sin }^{8}x+{\cos }^{8}x\right)$

Lời giải:

Ta có:

$C=2{\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right)}^2–\left({\sin }^{8}x+{\cos }^{8}x\right)$

$=2{\left[{\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right]}^2–\left[{\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x\right)}^2-2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x\right]$

$=2{\left[1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right]}^2–{\left[{\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right]}^2+2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x$

$=2{\left[1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right]}^2–{\left[1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right]}^2+2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x$

$\begin{array}{l}=2\left(1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x\right)–\left(1-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+4{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x\right)\\ +2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x\end{array}$

$= 2 – 4\sin 2x \cos 2x + 2\sin 4x \cos 4x – 1 + 4\sin 2x \cos 2x – 4\sin 4x \cos 4x + 2\sin 4x \cos 4x$

=1.

Vậy biểu thức vẫn mang lại ko tùy theo x.

Dạng 3.5: Tính độ quý hiếm biểu thức

a. Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức cơ bạn dạng, những công thức lượng giác (công thức nằm trong, công thức nhân song, công thức hạ bậc, công thức chuyển đổi tổng kết quả, công thức chuyển đổi tích trở thành tổng) và những độ quý hiếm lượng giác của những góc tương quan đặc biệt quan trọng.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính độ quý hiếm biểu thức: $A=\cos 10°.\cos 30°.\cos 50°.\cos 70°$.

Lời giải:

Ta có:

$A=\cos 10°.\cos 30°.\cos 50°.\cos 70°$

$=\cos 10°.\cos 30°.\frac{1}{2}\left(\cos {120}^{\text{o}}+\cos {20}^{\text{o}}\right)$

$=\cos {10}^o.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\cos {20}^o\right)$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(-\frac{\cos {10}^o}{2}+\cos {10}^{o}cos{20}^o\right)$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(-\frac{\cos 10°}{2}+\frac{\cos 30°+\cos 10°}{2}\right)$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}.\frac{cos30°}{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{16}$

Ví dụ 2: Cho $\cos 2\alpha =\frac{2}{3}$. Tính độ quý hiếm của biểu thức $P=\cos \alpha .\cos 3\alpha$.

Lời giải:

Ta có:

$P=\cos \alpha .\cos 3\alpha =\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +\cos 4\alpha \right)$

$=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +2{\cos }^{2}2\alpha -1\right)$

$=\frac{1}{2}\left(2{\cos }^{2}2\alpha +\cos 2\alpha -1\right)$

$=\frac{1}{2}\left[2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{2}{3}-1\right]=\frac{5}{18}$

3. Bài tập luyện tự động luyện

a. Tự luận

Câu 1: Cho $x+y+z=\pi$, chứng tỏ rằng: tanx + tany + tanz = tanx . tany . tanz.

Lời giải:

Từ fake thiết, tớ có:

$x+y+z=\pi \iff x+y=\pi -z$

$\Rightarrow tan\left(x+y\right)=tan\left(\pi -z\right)$

$\iff \frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x.\tan y}=-\tan z$

$\iff \tan x+\tan y=-\tan z+\tan x.\tan y.\tan z$

$\iff \tan x+\tan y+\tan z=\tan x.\tan y.\tan z$

Suy đi ra đpcm.

Câu 2: Cho $\sin x+\sin y=2sin\left(x+y\right)$, với $x+y\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng: $tan\frac{x}{2}.tan\frac{y}{2} = \frac{1}{3}$.

Lời giải:

Từ fake thiết, tớ có:

$\begin{array}{l}\sin x+\sin y=2sin\left(x+y\right)\\ \iff 2\sin \frac{x+y}{2}.cos\frac{x-y}{2} =4sin\frac{x+y}{2}.cos\frac{x+y}{2}\end{array}$

$\iff cos\frac{x-y}{2}=2cos\frac{x+y}{2}(dox+y\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z})$

$\iff cos\frac{x}{2}.cos\frac{y}{2} +sin\frac{x}{2}.sin\frac{y}{2} =2\left(cos\frac{x}{2}.cos\frac{y}{2} -sin\frac{x}{2}.sin\frac{y}{2}\right)$

$\iff 3sin\frac{x}{2}.sin\frac{y}{2}=cos\frac{x}{2}.cos\frac{y}{2} \iff tan\frac{x}{2}.tan\frac{y}{2} = \frac{1}{3}$

Suy đi ra đpcm.

Câu 3: Cho $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$  với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Tính độ quý hiếm của $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$.

Lời giải:

Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{2}{3}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$ (vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha >0$).

Ta có: $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{2}=\frac{2-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}$

Câu 4: Tính độ quý hiếm biểu thức $M=\cos \left(–53°\right).\sin \left(–337°\right)+\sin 307°.\sin 113°$.

Lời giải:

$M=\cos \left(–53°\right).\sin \left(–337°\right)+\sin 307°.\sin 113°$

$=\cos \left(–53°\right).\sin \left(23°–360°\right)+\sin \left(-53°+360°\right).\sin \left(90°+23°\right)$

$=\cos \left(–53°\right).\sin 23°+\sin \left(-53°\right).\cos 23°$

$=\sin \left(23°-53°\right)$$=-\sin 30°=-\frac{1}{2}$

Câu 5: Cho số thực $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{1}{4}$. Tính $\left(\sin 4\alpha +2\sin 2\alpha \right)\cos \alpha$.

Lời giải:

Ta có: $\left(\sin 4\alpha +2\sin 2\alpha \right)\cos \alpha$

$=\left(2\sin 2\alpha cos2\alpha +2\sin 2\alpha \right)cos\alpha$

$=2\sin 2\alpha \left(\cos 2\alpha +1\right)\cos \alpha$

$=4\sin \alpha \cos \alpha \left(1-2{\sin }^2\alpha +1\right)\cos \alpha$

$=4\sin \alpha {\cos }^2\alpha (2-2si{n}^2\alpha )$

$=4\sin \alpha \left(1-{\sin }^2\alpha \right)\left(2-2{\sin }^2\alpha \right)$

$=8{\left(1-{\sin }^2\alpha \right)}^2\sin \alpha$

$=8{\left(1-\frac{1}{16}\right)}^2.\frac{1}{4}$$=\frac{225}{128}$

Câu 6: Rút gọn gàng biểu thức $P=\frac{\cos a+2\cos 3a+\cos 5a}{\sin a+2\sin 3a+\sin 5a}$.

Lời giải:

$P=\frac{\cos a+2\cos 3a+\cos 5a}{\sin a+2\sin 3a+\sin 5a}$

$=\frac{2\cos 3a\cos 2a+2\cos 3a}{2\sin 3a\cos 2a+2\sin 3a}$

$=\frac{2\cos 3a\left(\cos 2a+1\right)}{2\sin 3a\left(\cos 2a+1\right)}$

$=\frac{\cos 3a}{\sin 3a}=\cot 3a$

Câu 7: Chứng minh biểu thức $A=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}-\frac{1}{4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$  không tùy theo x.

Lời giải:

Ta có: $A=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}-\frac{1}{4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}-\frac{1}{4{\tan }^{2}x}\cdot {\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)}^2$

$=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}-\frac{{\left(1+{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}$

$=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2-{\left(1+{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}$

$=\frac{-4{\tan }^{2}x}{4{\tan }^{2}x}=-1$

Vậy biểu thức ko tùy theo đổi thay.

Câu 8: Rút gọn gàng biểu thức $A=\frac{2{\cos }^{2}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}{2{\sin }^{2}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}$ .

Lời giải:

Ta có:

$A=\frac{2{\cos }^{2}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}{2{\sin }^{2}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}$

$=\frac{\cos 4\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha }{\sqrt{3}\sin 4\alpha -\cos 4\alpha }$

$=\frac{\frac{1}{2}\cos 4\alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 4\alpha }{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 4\alpha -\frac{1}{2}\cos 4\alpha }$

$=\frac{\sin \left(4\alpha +30°\right)}{\sin \left(4\alpha -30°\right)}$

Câu 9: Biến thay đổi biểu thức $\sin \alpha -1$ thành tích những biểu thức.

Lời giải:

Ta có:

$\sin \alpha -1=\sin \alpha -\sin \frac{\pi }{2}$

$=2\cos \frac{\alpha +\frac{\pi }{2}}{2}\sin \frac{\alpha -\frac{\pi }{2}}{2}$

$=2\cos \left(\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(\frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{4}\right).$

Câu 10: tường $\sin \beta =\frac{4}{5}$, $0<\beta <\frac{\pi }{2}$ và $\alpha \ne k\pi$. Chứng minh biểu thức: $A=\frac{\sqrt{3}\sin \left(\alpha +\beta \right)-\frac{4\cos \left(\alpha +\beta \right)}{\sqrt{3}}}{\sin \alpha }$ không tùy theo $\alpha$.

Lời giải:

Ta với  $\left\{\begin{array}{l}0<\beta <\frac{\pi }{2}\\ \sin \beta =\frac{4}{5}\end{array}\right.\Rightarrow \cos \beta =\frac{3}{5}$

$A=\frac{\sqrt{3}\sin \left(\alpha +\beta \right)-\frac{4\cos \left(\alpha +\beta \right)}{\sqrt{3}}}{\sin \alpha }$

$=\frac{3(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )-4(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )}{\sqrt{3}\sin \alpha }$

$=\frac{3\left(\frac{3}{5}\sin \alpha +\frac{4}{5}\cos \alpha \right)-4\left(\frac{3}{5}\cos \alpha -\frac{4}{5}\sin \alpha \right)}{\sqrt{3}\sin \alpha }$

$=\frac{5\sin \alpha }{\sqrt{3}\sin \alpha }=\frac{5}{\sqrt{3}}$

Vậy biểu thức ko tùy theo đổi thay α.

b. Trắc nghiệm

Câu 1: Kết trái ngược nào là tại đây sai?

A. $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$     

B. $\sin x-\cos x=-\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

C. $\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$

D. $\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$

Câu 2: Trong những công thức sau, công thức nào là sai?

A. $\cot 2x=\frac{{\cot }^{2}x-1}{2\cot x}$  

B. $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$

C. $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$   

D. $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$

Câu 3:  Nếu $\mathrm{s}\text{inx}+\cos x=\frac{1}{2}$ thì sin2x bằng

A. $\frac{3}{4}$.

B. $\frac{3}{8}$.

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.       

D. $\frac{-3}{4}$.

Câu 4: Cho nhị góc nhọn a và b. tường $\cos a=\frac{1}{3}$, $\cos b=\frac{1}{4}$. Giá trị $\cos \left(a+b\right).\cos \left(a-b\right)$ bằng:

A. $-\frac{113}{144}.$    

B. $-\frac{115}{144}.$    

C. $-\frac{117}{144}.$    

D. $-\frac{119}{144}.$

Câu 5: Cho $\cos x=0$. Tính $A={\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)+{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$.

A. $\frac{3}{2}$.

B. 2.  

C. 1. 

D. $\frac{1}{4}$.

Đáp án:

Xem tăng cách thức giải những dạng bài bác tập luyện Toán lớp 10 hoặc, cụ thể khác:

• Giá trị lượng giác của một góc bất kì kể từ 0 chừng cho tới 180 chừng và cơ hội giải
• Tích vô vị trí hướng của nhị vectơ và cơ hội giải bài bác tập
• Hệ thức lượng vô tam giác và cơ hội giải bài bác tập
• Hệ trục tọa chừng vô mặt mày bằng phẳng và cơ hội giải bài bác tập
• Phương trình đường thẳng liền mạch và cơ hội giải bài bác tập

Để học tập chất lượng lớp 10 những môn học tập sách mới:

• Giải bài bác tập luyện Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài bác tập luyện Lớp 10 Chân trời sáng sủa tạo
• Giải bài bác tập luyện Lớp 10 Cánh diều