MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY VỀ TÍNH NHANH PHÂN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dưới trên đây, thầy/cô  gửi cho tới những em học tập sinh một số việc hoặc về tính chất nhanh chóng phân số tất nhiên mẹo và cơ hội giải cụ thể. Các em phát âm kĩ, nếu như sở hữu gì không hiểu biết hãy nhắn tin tưởng mang lại Fanpage Facebook Mathx để được những thầy cô giải đáp tường tận hơn

Một số việc về tính chất nhanh chóng phân số

Bài 1: So sánh \(\dfrac {1}{9} - \dfrac {1}{10}\) và \(\dfrac {1}{9 \times 10}\)

Giải 

Ta có: 

\(\dfrac {1}{9} - \dfrac {1}{10} = \dfrac {10}{9 \times 10} - \dfrac {9}{9 \times 10} \\ = \dfrac {10-9}{9 \times 10} = \dfrac {1}{9 \times 10}\)

Đáp số: \(\dfrac {1}{9} - \dfrac {1}{10} = \dfrac {1}{9 \times 10}\) 

Tương tự động tớ test tính một luật lệ tính khác:

\(\dfrac {1}{6} - \dfrac {1}{7} = \dfrac {7}{6 \times 7} - \dfrac {6}{6 \times 7} \\ = \dfrac {7-6}{6 \times 7} = \dfrac {1}{6 \times 7}\)

Từ việc bên trên, tớ sở hữu công thức nhanh chóng như sau (các em ghi chép lại công thức nhập vở và ghi lưu giữ vì như thế tất cả chúng ta tiếp tục nhớ dùng cho tới nó kha khá nhiều trong những việc về phân số)

\(\dfrac {1}{n} - \dfrac {1}{n + 1} = \dfrac {1}{n \times (n+1)}\)

Bài 2: Tính luật lệ tính sau: \(A = \dfrac {1}{1 \times 2} + \dfrac {1}{2 \times 3} + \dfrac {1}{3 \times 4} + \ ... \ + \dfrac {1}{2023 \times 2024} \)

Giải 

Áp dụng công thức vừa vặn học tập, tớ có:

\(\dfrac {1}{1 \times 2} = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2}\)

\(\dfrac {1}{2 \times 3} = \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{3}\)

\(\dfrac {1}{3 \times 4} = \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4}\)

....

\(\dfrac {1}{2023 \times 2024} = \dfrac {1}{2023} - \dfrac {1}{2024}\)

\(\Rightarrow A = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4} + \ ... \ + \dfrac {1}{2023} - \dfrac {1}{2024} \\ A = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2024} = \dfrac {2024 - 1}{1 \times 2024} \\ A = \dfrac {2023}{2024}\)    (các cặp số âm khí và dương khí tự động triệt xài nhau)

Đáp số:  \(A = \dfrac {2023}{2024}\)

Bài 3: Tính nhanh \(B = \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{6} + \dfrac {1}{12} + \dfrac {1}{20} + \ ... \ + \dfrac {1}{9900} \)

Giải 

Tương tự động bài bác 2, tớ có:

 \(B = \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{6} + \dfrac {1}{12} + \dfrac {1}{20} + \ ... \ + \dfrac {1}{9900} \)

\(B = \dfrac {1}{1 \times 2} + \dfrac {1}{2 \times 3} + \dfrac {1}{3 \times 4} + \dfrac {1}{4 \times 5} + \ ... \ + \dfrac {1}{99 \times 100} \)

\(\Rightarrow B = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{5} + \ ... \ + \dfrac {1}{99} - \dfrac {1}{100} \\ B = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{100} = \dfrac {100 - 1}{1 \times 100} \\ B = \dfrac {99}{100}\)

Đáp số:  \(B = \dfrac {99}{100}\)

Bài 4: Tính nhanh \(C = \dfrac {2}{1 \times 3} + \dfrac {2}{3 \times 5} + \dfrac {2}{5 \times 7} + \ ... \ + \dfrac {2}{2023 \times 2025} \)

Giải 

Nháp:

3 - 1 = 2

5 - 3 = 2

7 - 5 = 2

\(\dfrac {2}{1 \times 3} = \dfrac {3 - 1}{1 \times 3} = \dfrac {3}{1 \times 3} - \dfrac {1}{1 \times 3} = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{3}\)

\(\dfrac {2}{3 \times 5} = \dfrac {5 - 3}{3 \times 5} = \dfrac {5}{3 \times 5} - \dfrac {3}{3 \times 5} = \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{5}\)

...

\(\dfrac {2}{2023 \times 2025} = \dfrac {2025 - 2023}{2023 \times 2025} = \dfrac {2025}{2023 \times 2025} - \dfrac {2023}{2023 \times 2025} = \dfrac {1}{2023} - \dfrac {1}{2025}\)

\(\Rightarrow C = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{5} + \ ... \ + \dfrac {1}{2023} - \dfrac {1}{2025} \\ C = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2025} = \dfrac {2025 - 1}{1 \times 2025} \\ C = \dfrac {2024}{2025}\)

Đáp số:  \(C = \dfrac {2024}{2025}\)

Qua việc bên trên, tớ sở hữu công thức như sau (Công thức này cũng cần thiết như công thức bên trên, những em cần thiết ghi đi ra vở lưu giữ và học tập nằm trong lòng nhằm xử lý thuần thục những dạng toán tương tự)

\( \dfrac {b - a}{a \times b} = \dfrac {1}{a} - \dfrac {1}{b}\)

Bài 5: Tính nhanh \(D = \dfrac {3}{1 \times 4} + \dfrac {3}{4 \times 7} + \dfrac {3}{7 \times 10} + \ ... \ + \dfrac {3}{100 \times 103} \)

Giải 

Tương tự động những bài bác bên trên, tớ có:

\(D = \dfrac {4-1}{1 \times 4} + \dfrac {7-4}{4 \times 7} + \dfrac {10-7}{7 \times 10} + \ ... \ + \dfrac {103-100}{100 \times 103} \)

\(D = ( \dfrac {4}{1 \times 4} - \dfrac {1}{1 \times 4} ) + ( \dfrac {7}{4 \times 7} - \dfrac {4}{4 \times 7} ) + ( \dfrac {10}{7 \times 10} - \dfrac {7}{7 \times 10} ) + \ ... \ + ( \dfrac {103}{100 \times 103} - \dfrac {100}{100 \times 103} ) \)

\(D = ( \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{4} ) + ( \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{7} ) + ( \dfrac {1}{7} - \dfrac {1}{10} ) + \ ... \ + ( \dfrac {1}{100} - \dfrac {1}{103} )\)

\(D = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{7} + \dfrac {1}{7} - \dfrac {1}{10} + \ ... \ + \dfrac {1}{100} - \dfrac {1}{103} \)

\(D = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{103} \)

\(D = \dfrac {102}{103}\)

Đáp số: \(D = \dfrac {102}{103}\)

Bài 6: Tính nhanh \(E = \dfrac {1}{1 \times 5} + \dfrac {1}{5 \times 9} + \dfrac {1}{9 \times 13} + \ ... \ + \dfrac {1}{101 \times 105} \)

Giải 

Với việc này tớ thấy dường như giống như với bài bác 5 tuy nhiên thành phần số lại vì như thế 1 chứ không hề vì như thế hiệu của hình mẫu số.

Ta giải việc này như sau:

Ta có: 

5 - 1 = 9 - 5 = 13 - 9 = ... = 4

=> Ta cần thiết thực hiện xuất hiện tại số 4 ở tử số nhằm việc quay trở lại dạng tính nhanh

=> Ta cần thiết nhân E lên 4 lần

Ta có:

\(E \times 4 = \dfrac {4}{1 \times 5} + \dfrac {4}{5 \times 9} + \dfrac {4}{9 \times 13} + \ ... \ + \dfrac {4}{101 \times 105} \)

\(E \times 4 = \dfrac {5-1}{1 \times 5} + \dfrac {9-5}{5 \times 9} + \dfrac {13-9}{9 \times 13} + \ ... \ + \dfrac {105-101}{101 \times 105} \)

\(E \times 4 = ( \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{5} ) + ( \dfrac {1}{5} - \dfrac {1}{9} ) + ( \dfrac {1}{9} - \dfrac {1}{13} ) + \ ... \ + ( \dfrac {1}{101} - \dfrac {1}{105} )\)

\(E \times 4 = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{105} = \dfrac {104}{105}\)

\(E = \dfrac {104}{105} : 4 = \dfrac {26}{105}\)

Đáp số: \(E = \dfrac {26}{105}\)

Bài 7: Tính nhanh \(F = \dfrac {1}{1 \times 4} + \dfrac {1}{4 \times 7} + \dfrac {1}{7 \times 10} + \ ... \ + \dfrac {1}{100 \times 103} \)

Giải 

Với bài bác này tớ giải tương tự động như bài bác 6

Ta có:

4 - 1 = 7 - 4 = 10 - 7 = ... = 103 - 100 = 3

=> Ta cần thiết thực hiện xuất hiện tại số 3 ở tử số nhằm việc quay trở lại dạng tính nhanh

=> Ta cần thiết nhân F lên 3 lần

Tương tự động bài bác 6 tớ tính được:

\(F \times 3 = \dfrac {3}{1 \times 4} + \dfrac {3}{4 \times 7} + \dfrac {3}{7 \times 10} + \ ... \ + \dfrac {3}{100 \times 103} \)

\(F \times 3 = \dfrac {4-1}{1 \times 4} + \dfrac {7-4}{4 \times 7} + \dfrac {10-7}{7 \times 10} + \ ... \ + \dfrac {103-100}{100 \times 103} \)

\(F \times 3 = ( \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{4} ) + ( \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{7} ) + ( \dfrac {1}{7} - \dfrac {1}{10} ) + \ ... \ + ( \dfrac {1}{100} - \dfrac {1}{103} )\)

\(F \times 3 = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{103} = \dfrac {102}{103}\)

\(F = \dfrac {102}{103} : 3 = \dfrac {34}{103}\)

Đáp số: \(F = \dfrac {34}{103}\)

Bài 8: Tính nhanh \(G = \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \dfrac {1}{16} + \ ... \ + \dfrac {1}{1024} \)

Giải 

Cách 1 (Quy đồng - cơ hội giải kềnh càng nhất)

\(G = \dfrac {512}{1024} + \dfrac {256}{1024} + \dfrac {128}{1024} + \dfrac {64}{1024} + \dfrac {32}{1024} + \dfrac {16}{1024} + \dfrac {8}{1024} + \dfrac {4}{1024} + \dfrac {2}{1024} + \dfrac {1}{1024} \)

 \(G = \dfrac {512 + 256 + 128 + ... + 4 + 2 + 1}{1024} = \dfrac {1023}{1024} \)

Cách 2: Nhận xét

Ta có:

2 x 2 = 4

4 x 2 = 8

8 x 2 = 16

....

\(\dfrac {1}{4} \times 2 = \dfrac {1}{2}\)

\(\dfrac {1}{8} \times 2 = \dfrac {1}{4}\)

....

Ta sẽ nhân G lên 2 lần

Ta có:

\(G \times 2 = ( \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \dfrac {1}{16} + \ ... \ + \dfrac {1}{1024} ) \times 2\)

\(G \times 2 = 1 + \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \ ... \ + \dfrac {1}{512} \)

Mà \(G = \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \dfrac {1}{16} + \ ... \ + \dfrac {1}{1024} \)

\(\Rightarrow G \times 2 - G = ( 1 + \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \ ... \ + \dfrac {1}{512} ) - ( \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \dfrac {1}{16} + \ ... \ + \dfrac {1}{1024} )\)      (phá ngoặc triệt xài những thành phần giống như nhau)

\(\Rightarrow G = 1 - \dfrac {1}{1024} = \dfrac {1023}{1024}\)

Cách 3:

Ta có:

\(\dfrac {1}{2} = 1 - \dfrac {1}{2}\)

\(\dfrac {1}{4} = \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{4}\)

\(\dfrac {1}{8} = \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{8}\)

....

\(\dfrac {1}{1024} = \dfrac {1}{512} - \dfrac {1}{1024}\)

\(\Rightarrow G = ( 1 - \dfrac {1}{2} ) + ( \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{4} ) + ( \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{8} ) + \ ... \ + ( \dfrac {1}{512} - \dfrac {1}{1024} ) \)

\(\Rightarrow G = 1 - \dfrac {1}{1024} = \dfrac {1023}{1024}\)

Đáp số: \(G = \dfrac {1023}{1024}\)

Bài 9: Tính nhanh \(H = \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{9} + \dfrac {1}{27} + \dfrac {1}{81} + \dfrac {1}{243} + \dfrac {1}{729} + \dfrac {1}{2187}\)

Giải 

Tương tự động bài bác 8

Xét hình mẫu số, tớ có

3 x 3 = 9

9 x 3 = 27

27 x 3 = 81

...

=> tớ tiếp tục cấp tử số lên 3 lần

Ta có:

\(H \times 3 = ( \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{9} + \dfrac {1}{27} + \dfrac {1}{81} + \dfrac {1}{243} + \dfrac {1}{729} + \dfrac {1}{2187} ) \times 3\)

\(H \times 3 = 1 + \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{9} + \dfrac {1}{27} + \ ... \ + \dfrac {1}{729} \)

Mà \(H = \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{9} + \dfrac {1}{27} + \dfrac {1}{81} + \dfrac {1}{243} + \dfrac {1}{729} + \dfrac {1}{2187}\)

\(\Rightarrow H \times 3 - H = ( 1 + \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{9} + \dfrac {1}{27} + \ ... \ + \dfrac {1}{729} ) - ( \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{9} + \dfrac {1}{27} + \ ... \ + \dfrac {1}{729} + \dfrac {1}{2187} )\)      (phá ngoặc triệt xài những thành phần giống như nhau)

\(\Rightarrow H \times 2 = 1 - \dfrac {1}{2187} = \dfrac {2186}{2187}\)

\(\Rightarrow H = \dfrac {2186}{2187} : 2 = \dfrac {1093}{2187} \)

Đáp số: \(H = \dfrac {1093}{2187} \)

Bài 10: Tính nhanh \(I = ( 1 + \dfrac {2}{3} ) \times ( 1 + \dfrac {2}{4} ) \times ( 1 + \dfrac {2}{5} ) \times \ ... \ \times ( 1 + \dfrac {2}{99} ) \)

Giải 

\(I = \dfrac {5}{3} \times \dfrac {6}{4} \times \dfrac {7}{5} \times \ ... \ \times \dfrac {100}{98} \times \dfrac {101}{99}\)   (triệt xài những thành phần giống như nhau ở tử và mẫu)

\(\Rightarrow I = \dfrac {100 \times 101}{3 \times 4} = \dfrac {25 \times 101}{3} = \dfrac {2525}{3}\)

Đáp số: \(I = \dfrac {2525}{3}\)

Bài 11: Tìm số bất ngờ n biết: \(( 1 + \dfrac {1}{1} ) \times ( 1 + \dfrac {1}{2} ) \times ( 1 + \dfrac {1}{3} ) \times \ ... \ \times ( 1 + \dfrac {1}{n} ) = 2070\)

Giải 

Phép tính bên trên trở thành

\(\dfrac {2}{1} \times \dfrac {3}{2} \times \dfrac {4}{3} \times \ ... \ \times \dfrac {n+1}{n} = 2070\)

\(\Rightarrow n + 1 = 2070 \\ \Rightarrow n = 2069\)

Đáp số: \(n = 2069\)

Bài 12: Tìm n sao cho \(\dfrac {1}{1 \times 2} + \dfrac {1}{2 \times 3} + \dfrac {1}{3 \times 4} + \ ... \ + \dfrac {1}{n \times (n+1)} = \dfrac {2023}{2024}\)

Giải 

Ta sở hữu luật lệ tính bên trên trở thành:

\(\dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4} + \ ... \ + \dfrac {1}{n} - \dfrac {1}{n+1} = \dfrac {2023}{2024}\)

\(\Rightarrow \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{n+1} = \dfrac {2023}{2024}\)

\(\Rightarrow \dfrac {1}{n+1} = \dfrac {1}{1} - \dfrac {2023}{2024} = \dfrac {1}{2024} \)

\(\Rightarrow n + 1 = 2024 \\ \Rightarrow n = 2023 \)

Đáp số: \( n = 2023\)

Trên trên đây là một số việc hoặc về tính chất nhanh chóng phân số tất nhiên mẹo và cơ hội giải cụ thể tuy nhiên Hiếu đang được tổ hợp lại nhập quy trình giảng dạy dỗ. Các em học viên hãy tiếp tục theo đuổi dõi Mathx nhằm gia tăng thêm thắt vốn liếng kỹ năng và kiến thức toán học tập của phiên bản đằm thắm nhé. Chúc những em học tập tốt!!

Quý cha mẹ và những em học viên coi thêm thắt một trong những nội dung bài viết về kỹ năng và kiến thức toán nâng cao lớp 4 tại đây:

TOÁN NÂNG CAO LỚP 4 - DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2, 3, 5, 9

TOÁN NÂNG CAO LỚP 4 - MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHIA TỈ LỆ