Các dạng toán về Cấp số cộng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 11.

Bài viết lách Các dạng toán về Cấp số nằm trong và cơ hội giải sẽ hỗ trợ học viên nắm rõ lý thuyết, biết phương pháp thực hiện bài xích tập luyện từ cơ lên kế hoạch ôn tập luyện hiệu suất cao nhằm đạt sản phẩm cao trong những bài xích thi đua môn Toán 11.

Các dạng toán về Cấp số nằm trong và cơ hội giải

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa: 

Cấp số cộng là 1 trong những sản phẩm số (hữu hạn hoặc vô hạn), nhập cơ Tính từ lúc số hạng loại nhì, từng số hạng đều thông qua số hạng đứng ngay lập tức trước nó cùng theo với một số trong những ko thay đổi d. 

- Số ko thay đổi d được gọi là công sai của cấp cho số nằm trong. 

- Nếu (u_n) là 1 trong những cấp cho số cùng theo với công sai d, tớ với công thức truy hồi 

u_n+1 = u_n + d, n ∈ ℕ^∗

Nhận xét:

- Cấp số nằm trong (u_n) là 1 trong những sản phẩm số tăng Khi và chỉ Khi công sai d > 0. 

- Cấp số nằm trong (u_n) là 1 trong những sản phẩm số tách Khi và chỉ Khi công sai d < 0. 

- điều đặc biệt, Khi d = 0 thì cấp cho số nằm trong là 1 trong những sản phẩm số ko thay đổi (tất cả những số hạng đều vì chưng nhau). 

b) Số hạng tổng quát của cấp cho số nằm trong (u_n) được xác lập vì chưng công thức: 

u_n = u₁ + (n - 1)d với n ≥ 1, n ∈ ℕ.

c) Tính chất:

Ba số hạng u_k-1, u_k, u_k+1 (k ≥ 2) là thân phụ số hạng liên tục của cấp cho số nằm trong Khi và chỉ Khi  

d) Tổng n số hạng trước tiên S_n được xác lập vì chưng công thức:

2. Các dạng bài xích tập

Dạng 1. Xác ấn định cấp cho số nằm trong và những nguyên tố của cấp cho số cộng

Phương pháp giải:

- Dãy số (u_n) là 1 trong những cấp cho số nằm trong Khi và chỉ Khi u_{n + 1} – u_n = d ko tùy thuộc vào n và d là công sai của cấp cho số nằm trong cơ. 

- Để xác lập một cấp cho số nằm trong, tớ cần thiết xác lập số hạng đầu và công sai. Ta thiết lập một hệ phương trình nhì ẩn u­₁ và d. Tìm u­₁ và d. 

- Tìm số hạng loại n phụ thuộc vào công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1)d hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n - 1} + d. 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho những sản phẩm số sau, sản phẩm số này là cấp cho số nằm trong. Nếu là cấp cho số nằm trong hãy xác lập số hạng trước tiên và công sai:

a) – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19. 

b) 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; trăng tròn. 

c) Dãy số (a_n), với a_n = 4n – 3. 

Lời giải

a) Ta thấy 1 – (– 2) = 4 – 1 = 7 – 4 = 10 – 7 = 13 – 10 = 16 – 13 = 19 – 16 = 3 

Nên sản phẩm số – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19 là cấp cho số nằm trong.

Số hạng trước tiên của cấp cho số nằm trong là u₁ = – 2, công sai là d = 3.

b) Ta thấy: 4 – 2 = 2 tuy nhiên 10 – 6 = 4 

Nên sản phẩm số 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20 không là cấp cho số nằm trong.

c) Ta có: a_n = 4n – 3 thì a_n+1 = 4(n + 1) – 3.

Xét a_n+1 – a_n = 4(n + 1) – 3 – (4n – 3) = 4 (không đổi)

Vậy sản phẩm số (a_n) với a_n = 4n – 3 là cấp cho số nằm trong.

Số hạng trước tiên của cấp cho số nằm trong là a₁ = 4.1 – 3 = 1, công sai là d = 4.

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nằm trong (u_n) thỏa mãn:  

a) Xác ấn định công sai và hạng trước tiên của cấp cho số nằm trong bên trên. 

b) Xác ấn định công thức tổng quát tháo của cấp cho số nằm trong bên trên. 

c) Tìm số hạng loại 15 của cấp cho số nằm trong bên trên. 

d) Số 6061 là số hạng loại từng nào của cấp cho số nằm trong. 

Lời giải

Gọi cấp cho số cùng theo với số hạng trước tiên là u₁ và công sai d

Số hạng tổng quát tháo của (u_n) là u_n = u₁ + (n – 1)d

Ta có:  

Vậy u₁ = 1 và d = 3.

b) Số hạng tổng quát tháo là: u_n = 1 + (n – 1).3 hoặc u_n = 3n – 2 với n ∈ ℕ^∗.

c) Số hạng loại 15 của cấp cho số cộng: u₁₅ = 3.15 – 2 = 43.

d) Giả sử số hạng loại k của cấp cho số nằm trong là u_k = 6061, tớ có: u_k = 3k – 2 = 6061, suy đi ra k = 2021.

Vậy số 6061 là số hạng loại 2021 của cấp cho số nằm trong.

Dạng 2. Tìm ĐK nhằm sản phẩm số lập trở thành cấp cho số nằm trong. Chứng minh cấp cho số cộng

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba số hạng u_k-1; u_k; u_k+1 là thân phụ số hạng liên tục của cấp cho số nằm trong Khi và chỉ Khi .

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: 

a) Tìm x biết: x² + 1, x – 2, 1 – 3x lập trở thành cấp cho số nằm trong. 

b) Cho cấp cho số nằm trong – 2, x, 6, hắn. Tính độ quý hiếm của biểu thức P.. = x² + y². 

Lời giải

a) Ta có: x² + 1, x – 2, 1 – 3x lập trở thành cấp cho số cộng 

Vậy x = 2, x = 3 là những độ quý hiếm cần thiết thám thính. 

b) Theo đặc thù của cấp cho số nằm trong, tớ với  .

Vậy P.. = x² + y² = 2² + 10² = 104. 

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

a) Nếu thân phụ số a, b, c lập trở thành một cấp cho số nằm trong thì thân phụ số x, hắn, z cũng lập trở thành một cấp cho số nằm trong, với: x = a² – bc, hắn = b² – ca, z = c² – ab. 

b) Nếu phương trình x³ – ax² + bx – c = 0 với thân phụ nghiệm lập trở thành cấp cho số nằm trong thì 9ab = 2a³ + 27c.

Lời giải

a) a, b, c là cấp cho số nằm trong nên a + c = 2b

Cần hội chứng minh x, hắn, z cũng lập trở thành một cấp cho số cộng tức là x + z = 2y.

Ta với 2y = 2b² – 2ca

Và x + z = a² + c² - b(a + c)

= (a + c)² – 2ac – 2b² 

= 4b² – 2ac – 2b² 

= 2b² – 2ac = 2y 

Khi cơ tớ được: 

Vậy tớ với điều nên chứng tỏ. 

b) Giả sử phương trình với thân phụ nghiệm x₁, x₂, x₃ lập trở thành cấp cho số nằm trong Khi đó: x₁ + x₃ = 2x₂ (1)

Mặt khác: x³ – ax² + bx – c = (x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)

= x³ – (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁ x₂ + x₂ x₃ + x₃ x₁)x – x₁ x₂ x₃

Suy đi ra x₁ + x₂ + x₃ = a (2)

Từ (1) và (2), tớ được 

Vì phương trình tiếp tục mang đến với nghiệm , tức là:

Vậy tớ với điều nên chứng tỏ. 

Dạng 3. Tính tổng của một cấp cho số nằm trong. 

Phương pháp giải:

Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác lập vì chưng công thức:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nằm trong (u_n)

a) (u­_n) với số hạng tổng quát tháo là: u_n = 7n – 3. Tính S₁₀₀. 

b) (u­_n) có u₂ + u₂₂ = 40. Tính S_23. 

c) (u­_n) có u₄ + u₈ + u₁₂ + u₁₆ = 224. Tính S₁₉. 

Lời giải

a) Từ công thức số hạng tổng quát 

Ta có: 

Số hạng đầu: u₁ = 7 . 1 – 3 = 4;

Số hạng loại nhì là : u₂ = 7 . 2 – 3 = 11; 

Công sai: d = 11 – 4 = 7

Khi cơ tớ có:

b) Ta có: u₂ + u₂₂ = 40 ⇔ u₁ + d + u₁ +21d = 40 ⇔ 2u₁ + 22d = 40

Vậy  

c) Ta có: u₄ + u₈ + u₁₂ + u₁₆ = 224 

⇔ u₁ + 3d + u₁ +7d + u₁ +15d = 224

⇔ 4u₁ + 36d = 224

⇔ u₁ + 9d = 56

Vậy 

Ví dụ 2: Tính những tổng sau:

a) S = 1 + 3 + 5 +... + (2n – 1) + (2n + 1) 

b) S = 1 + 4 + 7 +... + (3n – 2) + (3n + 1) + (3n + 4) 

c) S = 100² – 99² + 98² – 97² +... + 2² – 1² 

Lời giải

a) Ta với sản phẩm số 1;3;5;...;(2n – 1);(2n + 1) là cấp cho số cùng theo với công sai d = 2 và u₁ = 1, số hạng tổng quát tháo u_k = u₁ + (k – 1)d. 

Ta đánh giá 2n + một là số hạng loại từng nào của dãy: 2n + 1 = u₁ + (k – 1)d 

⇔ 2n + 1 = 1 + (k – 1).2 ⇒ k = n + 1 . Do cơ sản phẩm số với n + một số ít hạng. 

Vậy

b) Ta với sản phẩm số 1; 4; 7; ... (3n – 2);(3n + 1);(3n + 4) là cấp cho số cùng theo với công sai d = 3 và u₁ = 1, số hạng tổng quát tháo u_k = u₁ + (k – 1)d. 

Ta đánh giá 2n + một là số hạng loại từng nào của dãy: 3n + 4 = u₁ + (k – 1)d

⇔ 3n + 4 = 1 + (k – 1).3 ⇒ k = n + 2. Do cơ sản phẩm số với n + 2 số hạng. 

Vậy  

c) S = 100² – 99² + 98² – 97² +... + 2² – 1²

= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) +... + (2 – 1)(2 + 1)

= 199 + 195 +... + 3 

= 3 + 7 +... + 195 + 199

Ta với sản phẩm số 3; 7; ...195; 199 là cấp cho số cùng theo với công sai d = 4, số hạng trước tiên u₁ = 3 và số hạng loại n là u_n = 199. 

Do cơ với 199 = 3 + (n – 1).4 ⇒ n + 50. 

Vậy  .

3. Bài tập luyện tự động luyện

Câu 1. Trong những sản phẩm số sau đây, sản phẩm số này là cấp cho số cộng? 

A. Dãy số (a_n), với a_n = 2ⁿ ,∀n ∈ ℕ^∗.            

B. Dãy số (b_n), với b₁ = 1, b_n+1 = 2b₁ + 1,∀n ∈ ℕ^∗.                           

C. Dãy số (c_n), với c_n = (2n – 3)² – 4n² ,∀n ∈ ℕ^∗.                           

D. Dãy số (d_n), với 

Câu 2. Trong những sản phẩm số (u_n) sau, sản phẩm số này là 1 trong những cấp cho số cộng?

A. 1; – 3; – 7; – 11; – 15                                                              

B. 1; – 3; – 6; – 9; – 12

C. 1; – 2; – 4; – 6; – 8                                                                  

D. 1; – 3; – 5; – 7; – 9

Câu 3. Trong những sản phẩm số (u_n) mang đến vì chưng số hạng tổng quát tháo u_n sau, sản phẩm số này ko nên là 1 trong những cấp cho số cộng?

Câu 4. Cho cấp cho số nằm trong (u_n), biết u₁ = – 5,d = 3. Khẳng ấn định này sau đấy là đúng?

A. u₁₅ = 34.               B. u₁₅ = 45.               C. u₁₃ = 31.               D. u₁₀ = 35. 

Câu 5. Cho cấp cho số nằm trong (u_n), biết u₁ = – 5; d = 3. Số 100 là số hạng loại bao nhiêu?

A. Số loại 15.             B. Số loại trăng tròn.             C. Số loại 35.             D. Số loại 36. 

Câu 6. Cho cấp cho số nằm trong (u_n) biết:. Số hạng trước tiên là

A. u₁ = 16.                B. u₁ = 6.                   C. u₁ = 7.                  D. u₁ = 14. 

Câu 7. Cho cấp cho số nằm trong (u_n) thỏa: . Tính số hạng loại 100 của cấp cho số.

A. u₁₀₀ = – 243          B. u₁₀₀ = – 295          C. u₁₀₀ = – 231          D. u₁₀₀ = – 294

Câu 8. Cho cấp cho số nằm trong (u_n) với u₁ = 123 và u₃ – u₁₅ = 84. Tìm số hạng u₁₇. 

A. u₁₇ = 242              B. u₁₇ = 235              C. u₁₇ = 11                D. u₁₇ = 4

Câu 9. Xác ấn định x nhằm 3 số 1 – x; x²; 1 + x lập trở thành một cấp cho số nằm trong. 

A. x = 1 hoặc x = – 1                                                                    

B. x = 2 hoặc x = – 2

C. Không có mức giá trị này của x.                     

D. x = 0

Câu 10. Cho a, b, c theo đòi trật tự lập trở thành cấp cho số nằm trong, đẳng thức này sau đấy là đúng?

A. a² + c² = 2ab + 2bc.                                B. a² – c² = 2ab – 2bc.    

C. a² + c² = 2ab – 2bc.                                 D. a² – c² = ab – bc. 

Câu 11. Cho cấp cho số nằm trong (u_n) với u₁ = 5 và d = – 4. Tính tổng của 100 số hạng trước tiên.

A. – 19500                B. – 19300                C. – 19750                D. – 19550

Câu 12. Cho sản phẩm số (u_n) xác lập vì chưng u₁ = 321 và u_{n + 1} = u_n – 3 với từng n ∈ ℕ^∗. Tính tổng S của 125 số hạng trước tiên của sản phẩm số cơ. 

A. S = 16875.           B. S = 63375.            C. S = 63562,5.        D. S = 16687,5. 

Câu 13. Số hạng tổng quát tháo của một cấp cho số nằm trong là u_n = 3n + 4 với n ∈ ℕ^∗. Gọi S_n là tổng n số hạng trước tiên của cấp cho số nằm trong tiếp tục mang đến. Mệnh đề này tại đây đúng?

Câu 14. Cho cấp cho số nằm trong 3; 8; 13;... Tính tổng S = 3 + 8 + 13 +... + 2018. 

A. S = 408422.         B. S = 408242.          C. S = 407231,5.      D. S = 409252,5. 

Câu 15. Phương trình x³ – 3x² – 9x + m = 0 với thân phụ nghiệm phân khác biệt trở thành cấp cho số nằm trong. 

A. m = 16                  B. m = 11                  C. m = 13                  D. m = 12 

Đáp án

Xem tăng cách thức giải những dạng bài xích tập luyện Toán lớp 11 với đáp án, hoặc khác:

• Các dạng toán về Cấp số nhân và cơ hội giải
• Giới hạn của sản phẩm số và cơ hội giải những dạng bài xích tập
• Giới hạn của hàm số và cơ hội giải những dạng bài xích tập
• Hàm số liên tiếp và cơ hội giải những dạng bài xích tập
• Cách tính đạo hàm vì chưng khái niệm hoặc, chi tiết