Bài ghi chép trình diễn công thức tính khoảng cách thân mật hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau nhập hệ trục tọa phỏng không khí Oxyz và chỉ dẫn vận dụng công thức giải một số trong những bài xích tập luyện trắc nghiệm tương quan.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Cho hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau ${d_1}$ và ${d_2}$ đem phương trình: ${d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_1} + {a_1}t}\\
{y = {y_1} + {b_1}t}\\
{z = {z_1} + {c_1}t}
\end{array}} \right.$ và ${d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_2} + {a_2}t’}\\
{y = {y_2} + {b_2}t’}\\
{z = {z_2} + {c_2}t’}
\end{array}} \right.$ $\left( {t;t’ \in R} \right).$ Ta tính khoảng cách thân mật hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau ${d_1}$ và ${d_2}$ theo đuổi một trong những cơ hội sau:
Cách 1:
+ Bước 1: Xác ấn định những vectơ chỉ phương ${\vec a_1}$ của ${d_1}$, ${\vec a_2}$ của ${d_2}.$
+ Bước 2: Xác ấn định những điểm ${M_1} \in {d_1}$, ${M_2} \in {d_2}.$
+ Bước 3: Lúc cơ $d\left( {{d_1};{d_2}} \right)$ $ = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right]} \right|}}.$
Cách 2:
+ Bước 1: Gọi $H \in {d_1}$, $K \in {d_2}$ (lúc này $H$, $K$ đem toạ phỏng dựa vào ẩn $t$, $t’$).
+ Bước 2: Xác ấn định $H$, $K$ dựa vào:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{HK \bot {d_1}}\\
{HK \bot {d_2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec a}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec a}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
+ Bước 3: Lúc đó: $d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = HK.$
Nhận xét: Trong nhiều Việc đòi hỏi ghi chép phương trình lối vuông góc chung thì nên dùng cơ hội 2.
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
A. $d = \sqrt 3 .$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = 2\sqrt 3 .$
D. $d = 3\sqrt 3 .$
Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau.
Cách 1: (Tính phỏng nhiều năm đoạn vuông góc chung).
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = 2 – t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2k}\\
{y = – k}\\
{z = 1 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) \in {\Delta _1}$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc công cộng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = ( – 1; – 1; – 1)$ $ \Rightarrow d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = HK = \sqrt 3 .$
Cách 2: (Sử dụng công thức).
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Chọn $A(2;1;2) \in {\Delta _1}$, $B(1;0;1) \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1; – 1).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \sqrt 3 .$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là những điểm bất kì theo thứ tự nằm trong ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$ Tính phỏng nhiều năm nhanh nhất của đoạn trực tiếp $MN.$
A. $2\sqrt 3 .$
B. $\sqrt 3 .$
C. $4\sqrt 3 .$
D. $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau. Độ nhiều năm nhanh nhất của đoạn trực tiếp $MN$ là khoảng cách thân mật hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}.$
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Chọn $A(2;1;2) \in {\Delta _1}$, $B(1;0;1) \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1; – 1).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \sqrt 3 $ $ \Rightarrow M{N_{\min }} = \sqrt 3 .$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, ghi chép phương trình mặt mũi cầu đem nửa đường kính nhỏ nhất và đôi khi xúc tiếp với hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
A. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{3}{2}} \right)^2} = 3.$
B. ${\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}.$
C. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}.$
D. ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 1)^2} = \frac{3}{4}.$
Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau. Gọi $HK$ là đoạn vuông góc công cộng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Rightarrow $ mặt cầu cần thiết mò mẫm là mặt mũi cầu đem 2 lần bán kính $HK.$
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = 2 – t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2k}\\
{y = – k}\\
{z = 1 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) \in {\Delta _1}$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc công cộng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = ( – 1; – 1; – 1)$ $ \Rightarrow HK = \sqrt 3 .$
Mặt cầu cần thiết mò mẫm đem tâm $I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$ là trung điểm $HK$, nửa đường kính $R = \frac{{HK}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ đem phương trình: $(S):{\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}.$
Chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, gọi $\vec u(1;a;b)$ $(a;b \in R)$ là một trong những vectơ chỉ phương của lối vuông góc công cộng của hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$ Tính tổng $S = a + b.$
A. $S=2.$
B. $S=-2.$
C. $S=4.$
D. $S=-4.$
Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau.
Cách 1: (Tìm đoạn vuông góc chung).
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = 2 – t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2k}\\
{y = – k}\\
{z = 1 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) \in {\Delta _1}$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc công cộng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = ( – 1; – 1; – 1).$
Đường vuông góc công cộng đem vectơ chỉ phương dạng $m\overrightarrow {HK} $ $(m \in R,m \ne 0)$, kể từ fake thiết suy đi ra $a = 1$, $b = 1$ $ \Rightarrow S = a + b = 2.$
Cách 2:
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Do $\vec u(1;a;b)$ là một trong những vectơ chỉ phương của lối vuông góc công cộng của hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ suy ra:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec u.{{\vec u}_1} = 0}\\
{\vec u.{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 1 + 2a – b = 0}\\
{2 – a – b = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1}\\
{b = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \vec u = (1;1;1).$
Vậy $a = 1$, $b = 1$ $ \Rightarrow S = a + b = 2.$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 5: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, ghi chép phương trình lối vuông góc công cộng của hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau.
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;1; – 1).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4;2;1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t}\\
{y = t}\\
{z = 1 – t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 4k}\\
{y = – 1 + 2k}\\
{z = – 1 + k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(1 – t;t;1 – t) \in {\Delta _1}$, $K(2 + 4k; – 1 + 2k; – 1 + k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc công cộng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(1;0;1)$, $K(2; – 1; – 1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = (1; – 1; – 2).$
Đường vuông góc công cộng cần thiết mò mẫm là đường thẳng liền mạch qua loa $H(1;0;1)$ và mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {HK} = (1; – 1; – 2)$, đem phương trình: $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 6: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$
A. $d = \sqrt 6 .$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = 2\sqrt 3 .$
D. $d = 3.$
Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau.
Cách 1: (Tính phỏng nhiều năm đoạn vuông góc chung).
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 4k}\\
{y = 3 – k}\\
{z = 3 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) \in {\Delta _1}$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc công cộng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = (1;2;2)$ $ \Rightarrow d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = HK = 3.$
Cách 2: (Sử dụng công thức).
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Chọn $A(2;1;1) \in {\Delta _1}$, $B(3;3;3) \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = (1;2;2).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = 3.$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 7: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, ghi chép phương trình lối vuông góc công cộng của hai tuyến đường thẳng: ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$
A. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
B. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{2}.$
C. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 2}}{2}.$
Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau.
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 4k}\\
{y = 3 – k}\\
{z = 3 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) \in {\Delta _1}$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc công cộng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = (1;2;2).$
Đường vuông góc công cộng cần thiết mò mẫm là đường thẳng liền mạch qua loa $H(2;1;1)$ và mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {HK} = (1;2;2)$, đem phương trình: $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{2}.$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 8: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là những điểm bất kì theo thứ tự nằm trong ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ Tính phỏng nhiều năm nhanh nhất của đoạn trực tiếp $MN.$
A. $2\sqrt 3 .$
B. $3.$
C. $4\sqrt 3 .$
D. $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau. Độ nhiều năm nhanh nhất của đoạn trực tiếp $MN$ là khoảng cách thân mật hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}.$
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Chọn $A(2;1;1) \in {\Delta _1}$, $B(3;3;3) \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = (1;2;2).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = 3$ $ \Rightarrow M{N_{\min }} = 3.$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 9: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, ghi chép phương trình mặt mũi cầu đem nửa đường kính nhỏ nhất và đôi khi xúc tiếp với hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$
A. ${\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 2)^2} = \frac{9}{4}.$
B. ${\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 2)^2} = \frac{9}{4}.$
C. ${\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 2)^2} = \frac{9}{2}.$
D. ${\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 2)^2} = \frac{9}{4}.$
Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo cánh nhau. Gọi $HK$ là đoạn vuông góc công cộng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$, suy ra mặt cầu cần thiết mò mẫm là mặt mũi cầu đem 2 lần bán kính $HK.$
Đường trực tiếp ${\Delta _1}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường trực tiếp ${\Delta _2}$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Ta đem ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 4k}\\
{y = 3 – k}\\
{z = 3 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) \in {\Delta _1}$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc công cộng của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = (1;2;2)$ $ \Rightarrow HK = 3.$
Mặt cầu cần thiết mò mẫm đem tâm $I\left( {\frac{5}{2};2;2} \right)$ là trung điểm $HK$, nửa đường kính $R = \frac{{HK}}{2} = \frac{3}{2}$ đem phương trình: $(S):{\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 2)^2} = \frac{9}{4}.$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 10: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai tuyến đường trực tiếp $\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{1}$ và trục $Oy.$
A. $d = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}.$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
D. $d = 3.$
Lời giải:
Kiểm tra được $\Delta $ và $Oy$ chéo cánh nhau.
Đường trực tiếp $\Delta $ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là ${\vec u_\Delta } = (2;1; – 1).$
Đường trực tiếp chứa chấp trục $Oy$ mang trong mình 1 vectơ chỉ phương là $\vec u = (0;1;0).$
Chọn $O(0;0;0) \in Oy$, $A(1;0; – 4) \in \Delta $ $ \Rightarrow \overrightarrow {OA} = (1;0; – 4).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {OA} .\left[ {\vec u,{{\vec u}_\Delta }} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,{{\vec u}_\Delta }} \right]} \right|}} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
Chọn đáp án C.
3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. ĐỀ BÀI
Câu 1: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, ghi chép phương trình lối vuông góc công cộng của hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, $\Delta_{2}: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{-1}.$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
C. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{1}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{1}.$
Câu 2: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$
A. $d = \sqrt 6 .$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = 2\sqrt 3 .$
D. $d = 3\sqrt 3 .$
Câu 3: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là những điểm bất kì theo thứ tự nằm trong ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$ Tính phỏng nhiều năm nhanh nhất của đoạn trực tiếp $MN.$
A. $2\sqrt 3 .$
B. $\sqrt 6 .$
C. ${4\sqrt 3 .}$
D. ${\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.}$
Câu 4: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, ghi chép phương trình mặt mũi cầu đem nửa đường kính nhỏ nhất và đôi khi xúc tiếp với hai tuyến đường trực tiếp ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$
A. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {z^2} = \frac{3}{4}.$
B. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {z^2} = \frac{3}{2}.$
C. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {z^2} = \frac{3}{2}.$
D. ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 1)^2} = \frac{3}{4}.$
Câu 5: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là những điểm bất kì theo thứ tự nằm trong $\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{{ – 1}}$ và trục $Oy.$ Tính phỏng nhiều năm nhanh nhất của đoạn trực tiếp $MN.$
A. $2\sqrt 3 .$
B. $\frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
C. $4\sqrt 3 .$
D. $\frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$
Câu 6: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai tuyến đường trực tiếp $\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ – 2}} = \frac{{z + 2}}{2}$ và trục $Oz.$
A. $d = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}.$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
D. $d = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$
Câu 7: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, mang lại tứ diện $ABCD$ với $A(1;1;2)$, $B(-3;3;4)$, $C(0;2;2)$, $D(0;1;-1).$ Tính khoảng cách $d$ thân mật hai tuyến đường trực tiếp $AC$ và $BD.$
A. $d = \frac{{2\sqrt {11} }}{{11}}.$
B. $d = \frac{{\sqrt {51} }}{{51}}.$
C. $d = \frac{{8\sqrt {51} }}{{51}}.$
D. $d = \frac{{2\sqrt {15} }}{{11}}.$
Câu 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ đem lòng $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1$, $AD=2$, $SA$ vuông góc với lòng và $SA=2.$ Gọi $M$, $N$ theo thứ tự là trung điểm của những cạnh $SD$, $BC$, tính khoảng cách $d$ thân mật hai tuyến đường trực tiếp $CM$ và $AN.$
A. $d = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.$
B. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
C. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{6}.$
D. $d = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$
Câu 9: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa đường thẳng liền mạch $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$ và mặt mũi phẳng phiu $(P):x + hắn + 2z + 3 = 0.$
A. $d = \sqrt 3 .$
B. $d = \frac{1}{3}.$
C. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
D. $d = \frac{2}{3}.$
Câu 10: Trong không khí với hệ tọa phỏng $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là những điểm bất kì theo thứ tự nằm trong $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$ và mặt mũi phẳng phiu $(P):x + hắn + 2z + 3 = 0.$ Tính phỏng nhiều năm nhỏ nhất của đoạn trực tiếp $MN.$
A. $d = \sqrt 3 .$
B. $d = \frac{1}{3}.$
C. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
D. $d = \frac{2}{3}.$
2. BẢNG ĐÁP ÁN
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Đáp án | D | A | B | C | B |
| Câu | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Đáp án | C | C | D | C | C |