• Tìm kiếm

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn lớp 9

  • 90,000
  • Tác giả: admin
  • Ngày đăng: 01:00 19/05/2025
  • Lượt xem: 9
  • Tình trạng: Còn hàng

Cách giải vấn đề dò la GTLN, GTNN của biểu thức chứa chấp căn lớp 9  là tư liệu vô nằm trong hữu ích, bao gồm khá đầy đủ kiến thức và kỹ năng lý thuyết và những dạng bài bác tập dượt trọng tâm sở hữu đáp án tất nhiên tự động luyện. Qua cơ sẽ hỗ trợ học viên ôn tập dượt, biết phương pháp thực hiện dạng bài bác tập dượt về độ quý hiếm nhỏ nhất và độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức chứa chấp căn.

Tìm độ quý hiếm lớn số 1, nhỏ nhất lớp 9 là một trong trong mỗi dạng toán cơ bạn dạng vô lịch trình lớp 9 hiện tại hành và thông thường xuất hiện tại trong số bài bác ganh đua vô 10. Hi vọng qua quýt bài học kinh nghiệm ngày hôm nay nhưng mà Download.vn ra mắt sẽ hỗ trợ chúng ta đơn giản và dễ dàng biết phương pháp giải những dạng vấn đề này nhằm đạt sản phẩm cao vô bài bác ganh đua sắp tới đây. Dường như nhằm nâng lên kiến thức và kỹ năng môn Toán thiệt đảm bảo chất lượng chúng ta coi thêm thắt một vài tư liệu như: dò la ĐK thông số m nhằm tía đường thẳng liền mạch đồng quy, đề chính Giải phương trình bậc 2 chứa chấp thông số, bài bác tập dượt hệ thức Vi-et và những phần mềm.

I. Định nghĩa GTLN, GTNN

- Nếu với từng độ quý hiếm của phát triển thành nằm trong một khoảng tầm xác lập nào là này mà độ quý hiếm của biểu thức A luôn luôn trực tiếp to hơn hoặc vày (nhỏ rộng lớn hoặc bằng) một hằng số k và tồn bên trên một độ quý hiếm của phát triển thành nhằm A có mức giá trị vày k thì k gọi là độ quý hiếm nhỏ nhất (giá trị rộng lớn nhất) của biểu thức A ứng với những độ quý hiếm của phát triển thành nằm trong khoảng tầm xác lập thưa bên trên.

- Giá trị rộng lớn nhất: m được gọi là độ quý hiếm lớn số 1 của f(x) nếu:

f(x) ≤ m với từng x ∈ D

Kí hiệu: m = maxf(x) x ∈ D hoặc độ quý hiếm lớn số 1 của hắn = m.

- Giá trị nhỏ nhất: M được gọi là độ quý hiếm nhỏ nhất nếu:

f(x) ≥ m với từng x ∈ D

Kí hiệu: m = minf(x) x∈ D hoặc độ quý hiếm nhỏ nhất của hắn = M.

II. Các dạng bài bác tập dượt thông thường gặp

Dạng 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bên trên 1 đoạn.

Phương pháp: Cho hàm số hắn = f(x) xác lập và liên tiếp bên trên [a,b] .

  • Bước 1. Tính đạo hàm f'(x) .
  • Bước 2. Tìm toàn bộ những nghiệm xi ∈ [a,b] của phương trình f'(x) = 0 và toàn bộ những điểm αi ∈ [a,b] thực hiện cho tới f'(x) ko xác lập.
  • Bước 3. Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi).
  • Bước 4. So sánh những độ quý hiếm tính được và Kết luận M=max f(x), [a,b] ; m= min f(x), [a,b]

Lưu ý:

- Đối với vấn đề dò la GTLN, GTNN bên trên khoảng tầm, nửa đoạn thực hiện tương tự động.

- Trong tình huống bên trên khoảng tầm cơ ko tồn bên trên độ quý hiếm f’(x) = 0 hoặc ko xác lập thì Kết luận ko tìm kiếm được GTLN, GTNN bên trên khoảng tầm cơ.

Dạng 2. Ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số vô vấn đề thực tiễn.

  • Bước 1: Từ những ĐK của vấn đề thi công hàm số.
  • Bước 2: Tìm tập dượt xác lập của hàm số.
  • Bước 3: Tìm độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của hàm số vừa phải thi công bên trên tập dượt xác lập của chính nó phù phù hợp với đòi hỏi vấn đề.
  • Bước 4: Kết luận.

III. Cách giải vấn đề dò la gtln, gtnn lớp 9

1. Biến thay đổi biểu thức

Bước 1: Biến thay đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một vài ko âm với hằng số.

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {GTNN:\sqrt {{A^2} + m} \geqslant \sqrt m } \\ {GTLN:\sqrt {m - {A^2}} \leqslant \sqrt m } \end{array};\left( {m \geqslant 0} \right)} \right.\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {GTNN:\sqrt {{A^2} + m} \geqslant \sqrt m } \\ {GTLN:\sqrt {m - {A^2}} \leqslant \sqrt m } \end{array};\left( {m \geqslant 0} \right)} \right.\)

Bước 2: Thực hiện tại dò la độ quý hiếm lớn số 1, nhỏ nhất

2. Chứng minh biểu thức luôn luôn dương hoặc luôn luôn âm

Phương pháp:

- Để minh chứng biểu thức A luôn luôn dương tao cần thiết chỉ ra: A = {A_1}^2 + k;\left( {k > 0} \right)\(A = {A_1}^2 + k;\left( {k > 0} \right)\)

- Để minh chứng biểu thức A luôn luôn âm tao cần thiết chỉ ra: A =- {A_1}^2 - k;\left( {k > 0} \right)\(A =- {A_1}^2 - k;\left( {k > 0} \right)\)

3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Cho nhị số a, b ko âm tao có:

a + b \geqslant 2\sqrt {ab}\(a + b \geqslant 2\sqrt {ab}\)

Dấu vày xẩy ra khi và chỉ khi a = b

4. Sử dụng bất đẳng thức chứa chấp vệt độ quý hiếm tuyệt đối

\left| a \right| + \left| b \right| \geqslant \left| {a + b} \right|\(\left| a \right| + \left| b \right| \geqslant \left| {a + b} \right|\)

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi tích a.b \geqslant 0\(a.b \geqslant 0\)

IV. Bài tập dượt dò la GTLN, GTNN của biểu thức chứa chấp căn

Bài 1: Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức A = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\(A = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\)

Gợi ý đáp án

Điều khiếu nại xác lập x ≥ 0

Để A đạt độ quý hiếm lớn số 1 thì x - \sqrt x + 1\(x - \sqrt x + 1\) đạt độ quý hiếm nhỏ nhất

Có x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\(x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Lại sở hữu {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0\({\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0\)

Dấu “=” xẩy ra \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\(\Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Minx - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\(x - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Vậy MaxA = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\(A = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Bài 2: Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức:

a. E = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\(E = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\)

b. D = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}\(D = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}\)

Gợi ý đáp án

a. Điều khiếu nại xác lập x \geqslant 0\(x \geqslant 0\)

Do \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \geqslant 1 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \leqslant 1 \Rightarrow \max A = 1\(\sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \geqslant 1 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \leqslant 1 \Rightarrow \max A = 1\)

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của E vày 1 khi x = 0

b. Điều khiếu nại xác lập x \geqslant 0\(x \geqslant 0\)

D = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\(D = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\)

Do \sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \geqslant 2 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow \max A = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\(\sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \geqslant 2 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow \max A = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của D vày 3/2 khi x = 0

Bài 3: Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức: Q = {x^2}\sqrt {9 - {x^2}}\(Q = {x^2}\sqrt {9 - {x^2}}\)

Gợi ý đáp án

Điều khiếu nại xác định: x \in \left[ { - 3;3} \right]\(x \in \left[ { - 3;3} \right]\)

Ta có:

\begin{matrix} {Q^2} = {x^4}\left( {9 - {x^2}} \right) \hfill \\ {Q^2} = 4.\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{{{x^2}}}{2}\left( {9 - {x^2}} \right) \hfill \\ \end{matrix}\(\begin{matrix} {Q^2} = {x^4}\left( {9 - {x^2}} \right) \hfill \\ {Q^2} = 4.\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{{{x^2}}}{2}\left( {9 - {x^2}} \right) \hfill \\ \end{matrix}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy tao có:

\begin{matrix} {Q^2} \leqslant 4.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + \left( {9 - {x^2}} \right)} \right)}^3}}}{{27}} = 4.27 \hfill \\ \Rightarrow Q \leqslant 6\sqrt 3 \hfill \\ \Rightarrow \max Q = 6\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}\(\begin{matrix} {Q^2} \leqslant 4.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + \left( {9 - {x^2}} \right)} \right)}^3}}}{{27}} = 4.27 \hfill \\ \Rightarrow Q \leqslant 6\sqrt 3 \hfill \\ \Rightarrow \max Q = 6\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}\)

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x = \pm \sqrt 6\(x = \pm \sqrt 6\)

Bài 4: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\)

a, Rút gọn gàng A

b, Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức P = A - 9\sqrt x\(P = A - 9\sqrt x\)

Gợi ý đáp án

Cách 1

a, A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\) với x > 0, x ≠ 1

= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\(= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\)

= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\(= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\)

b,P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\(P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\) với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, vận dụng bất đẳng thức Cauchy có: \frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6\(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6\)

\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow Phường \le - 5\(\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow Phường \le - 5\)

Dấu “=” xẩy ra \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\(\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)(thỏa mãn)

Vậy maxP = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\(P = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)

Cách 2: Thêm hạn chế rồi sử dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc Review phụ thuộc ĐK đề bài bác.

Với ĐK x > 0 và x ≠ 1 tao có:

P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\(P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\)

Theo bất đẳng thức Cauchy rời khỏi có:

9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 2\sqrt {9\sqrt x .\frac{1}{{\sqrt x }}} \Leftrightarrow 9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 6\(9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 2\sqrt {9\sqrt x .\frac{1}{{\sqrt x }}} \Leftrightarrow 9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 6\)

Như vậy Phường ≤ -5

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 9\sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }}\(9\sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }}\) hoặc x = 1/9

Vậy độ quý hiếm lớn số 1 của Phường là -5 khi và chỉ khi x = 1/9

Cách 3: Dùng miền độ quý hiếm nhằm tấn công giá

Với ĐK x > 0 và x ≠ 1 tao có:

P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x\(P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x\) (P < 1)

\begin{matrix} \Leftrightarrow P\sqrt x = \sqrt x - 1 - 9x \hfill \\ \Leftrightarrow 9x + \left( {P - 1} \right)\sqrt x + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 9{\left( {\sqrt x } \right)^2} + \left( {P - 1} \right)\sqrt x + 1 = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{matrix}\(\begin{matrix} \Leftrightarrow P\sqrt x = \sqrt x - 1 - 9x \hfill \\ \Leftrightarrow 9x + \left( {P - 1} \right)\sqrt x + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 9{\left( {\sqrt x } \right)^2} + \left( {P - 1} \right)\sqrt x + 1 = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{matrix}\)

Để tổn bên trên Phường thì phương trình (*) nên sở hữu nghiệm, tức là:

∆ = (P - 1)2 - 36 ≥ 0 ⇔ (P - 1)2 ≥ 36 ⇔ Phường - 1 ≤ -6 (Do Phường < 1) ⇔ Phường ≤ -5

Như vậy Phường ≤ -5 khi \sqrt x = \frac{{ - \left( {P - 1} \right)}}{{2.9}} = \frac{{ - \left( { - 5 - 1} \right)}}{{2.9}} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{9}\(\sqrt x = \frac{{ - \left( {P - 1} \right)}}{{2.9}} = \frac{{ - \left( { - 5 - 1} \right)}}{{2.9}} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{9}\)

Vậy độ quý hiếm lớn số 1 của Phường là -5 khi và chỉ khi x = 1/9

Bài 5: Cho biểu thức A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}\(A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}\)với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn gàng A

b, Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của A

Gợi ý đáp án

a, A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}\(A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}\)với x ≥ 0, x ≠ 4

= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\(= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\)

= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\(= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\)

= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\(= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}\)

= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}\(= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}\)

b, Có x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}\(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}\)

Dấu “=” xẩy ra ⇔ x = 0

Vậy minA = \frac{{ - 3}}{2} \Leftrightarrow x = 0\(A = \frac{{ - 3}}{2} \Leftrightarrow x = 0\)

Bài 6.

Cho nhị số thực a,b # 0 thỏa mãn2{a^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = 4\(2{a^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = 4\) . Tìm GTLN, GTNN của S = ab + 2017\(S = ab + 2017\)

Gợi ý đáp án

Ta fake thiết tao có:

\begin{array}{l} 4 = \left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}} - 2} \right) + \left( {{a^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} - ab} \right) + ab + 2\\ = {\left( {a - \frac{1}{a}} \right)^2} + {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + ab + 2\\ \Rightarrow ab + 2 \le 4 \Rightarrow ab + 2017 \le 2019 \Rightarrow S \le 2019 \end{array}$\(\begin{array}{l} 4 = \left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}} - 2} \right) + \left( {{a^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} - ab} \right) + ab + 2\\ = {\left( {a - \frac{1}{a}} \right)^2} + {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + ab + 2\\ \Rightarrow ab + 2 \le 4 \Rightarrow ab + 2017 \le 2019 \Rightarrow S \le 2019 \end{array}$\)

Mặt khác

\begin{array}{l} 4 = \left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}} - 2} \right) + \left( {{a^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} - ab} \right) - ab + 2\\ = {\left( {a - \dfrac{1}{a}} \right)^2} + {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} - ab + 2\\ \Rightarrow - ab + 2 \le 4 \Rightarrow ab \ge 2 \Rightarrow ab + 2017 \ge năm ngoái \Rightarrow S \ge 2015 \end{array}\(\begin{array}{l} 4 = \left( {{a^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}} - 2} \right) + \left( {{a^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} - ab} \right) - ab + 2\\ = {\left( {a - \dfrac{1}{a}} \right)^2} + {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} - ab + 2\\ \Rightarrow - ab + 2 \le 4 \Rightarrow ab \ge 2 \Rightarrow ab + 2017 \ge năm ngoái \Rightarrow S \ge 2015 \end{array}\)

Bài 7

 Cho nhị số x,hắn không giống 0 thỏa mãn nhu cầu {x^2} + \dfrac{8}{{{x^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{8} = 8\({x^2} + \dfrac{8}{{{x^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{8} = 8\) . Tìm min, max của A= xy+2024 

Gợi ý đáp án

Từ fake thiết tao có:

\begin{array}{l} 8 = {x^2} + \dfrac{8}{{{x^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{8} \Rightarrow 16 = 2{x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{4}\\ = \left( {{x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}} - 8} \right) + \left( {{x^2} + xy + \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right) - xy + 8\\ \Rightarrow 8 = {\left( {x - \dfrac{4}{x}} \right)^2} + {\left( {x + \dfrac{y}{2}} \right)^2} - xy + 8 \le 16 \Rightarrow xy \ge - 8\\ \Rightarrow A = xy + 2024 \ge 2016 \end{array}\(\begin{array}{l} 8 = {x^2} + \dfrac{8}{{{x^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{8} \Rightarrow 16 = 2{x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{4}\\ = \left( {{x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}} - 8} \right) + \left( {{x^2} + xy + \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right) - xy + 8\\ \Rightarrow 8 = {\left( {x - \dfrac{4}{x}} \right)^2} + {\left( {x + \dfrac{y}{2}} \right)^2} - xy + 8 \le 16 \Rightarrow xy \ge - 8\\ \Rightarrow A = xy + 2024 \ge 2016 \end{array}\)

Mặt khác

\begin{array}{l} 16 = \left( {{x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}} - 8} \right) + \left( {{x^2} + xy + \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right) + xy + 8\\ = {\left( {x - \dfrac{4}{x}} \right)^2} + {\left( {x + \dfrac{y}{2}} \right)^2} + xy - 8 \Rightarrow xy - 8 \le 16 \Rightarrow xy \le 8 \Rightarrow S = xy + 2024 \le 2032 \end{array}\(\begin{array}{l} 16 = \left( {{x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}} - 8} \right) + \left( {{x^2} + xy + \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right) + xy + 8\\ = {\left( {x - \dfrac{4}{x}} \right)^2} + {\left( {x + \dfrac{y}{2}} \right)^2} + xy - 8 \Rightarrow xy - 8 \le 16 \Rightarrow xy \le 8 \Rightarrow S = xy + 2024 \le 2032 \end{array}\)

Bài 8

 Cho x, hắn không giống 0 biết 8{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{4{x^2}}} = 4\(8{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{4{x^2}}} = 4\) . Tìm x,hắn nhằm B=xy đạt GTLN, GTNN

Hướng dẫn giải

Ta có

\begin{array}{l} 4 = 8{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{4{x^2}}} = \left( {4{x^2} - 2 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right) + \left( {4{x^2} + {y^2} - 4xy} \right) + 4xy + 2\\ 4 = {\left( {2x - \dfrac{1}{{2x}}} \right)^2} + {\left( {2x - y} \right)^2} + 4xy + 2 \Rightarrow 4xy + 2 \le 4 \Rightarrow B = xy \le \dfrac{1}{2} \end{array}\(\begin{array}{l} 4 = 8{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{4{x^2}}} = \left( {4{x^2} - 2 + \dfrac{1}{{4{x^2}}}} \right) + \left( {4{x^2} + {y^2} - 4xy} \right) + 4xy + 2\\ 4 = {\left( {2x - \dfrac{1}{{2x}}} \right)^2} + {\left( {2x - y} \right)^2} + 4xy + 2 \Rightarrow 4xy + 2 \le 4 \Rightarrow B = xy \le \dfrac{1}{2} \end{array}\)

Mặt khác

4 = {\left( {2x - \dfrac{1}{{2x}}} \right)^2} + {\left( {2x + y} \right)^2} - 4xy + 2 \Rightarrow - 4xy + 2 \le 4 \Rightarrow B = xy \ge - \dfrac{1}{2}\(4 = {\left( {2x - \dfrac{1}{{2x}}} \right)^2} + {\left( {2x + y} \right)^2} - 4xy + 2 \Rightarrow - 4xy + 2 \le 4 \Rightarrow B = xy \ge - \dfrac{1}{2}\)

V. Bài tập dượt tự động luyện dò la GTLN, GTNN

Bài 1: Tìm độ quý hiếm của x vẹn toàn nhằm những biểu thức sau đạt độ quý hiếm nhỏ nhất:

a. \sqrt {x - 4} - 2\(\sqrt {x - 4} - 2\)

b. x - \sqrt x\(x - \sqrt x\)

Bài 2: Tìm độ quý hiếm của x vẹn toàn nhằm những biểu thức sau đạt độ quý hiếm rộng lớn nhất:

a. A = \sqrt 3 - \sqrt {x - 1}\(A = \sqrt 3 - \sqrt {x - 1}\)

b. B = 6\sqrt x - x - 1\(B = 6\sqrt x - x - 1\)

c. C = \frac{1}{{x - \sqrt x - 1}}\(C = \frac{1}{{x - \sqrt x - 1}}\)

Bài 3: Cho biểu thức:

A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)\(A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)\)

a. Tính độ quý hiếm của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn gàng biểu thức B

c. Tìm toàn bộ những độ quý hiếm vẹn toàn của x nhằm biểu thức A.B đạt độ quý hiếm vẹn toàn lớn số 1.

Bài 4: Cho biểu thức: A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}\(A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}\). Tìm độ quý hiếm của x nhằm A đạt độ quý hiếm lớn số 1.

Bài 5: Cho biểu thức:

A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + x + 2}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 1} \right)\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + x + 2}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 1} \right)\)

a. Rút gọn gàng A

b. Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của A

Bài 6: Cho biểu thức:

B = \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} - \frac{{2x + \sqrt x }}{{\sqrt x }} + 1;\left( {x > 0} \right)\(B = \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} - \frac{{2x + \sqrt x }}{{\sqrt x }} + 1;\left( {x > 0} \right)\)

a. Rút gọn gàng B

b. Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của B.

Bài 7: Với x > 0, hãy dò la độ quý hiếm lớn số 1 của từng biểu thức sau:

Bài 8: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x - 2}}\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x - 2}}\)

a, Rút gọn gàng biểu thức A

b, Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của A

Bài 9: Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

a, Tìm ĐK xác lập và rút gọn gàng A

b, Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của A

Bài 10: Cho biểu thức M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\(M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\)

a, Tìm ĐK xác lập và rút gọn gàng M

b, Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của M

Bài 12. Cho x,hắn không giống 0 thỏa mãn nhu cầu 2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\(2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\). Tìm GTLN, GTNN của A= xy

Bài 13. Cho x,hắn là nhị số thực thỏa mãn nhu cầu 2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\(2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\) . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

3. Cho x,y>0 thỏa mãn nhu cầu x+y=1. Tìm GTNN của A = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy\(A = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy\)

Bài 14: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của từng biểu thức sau:

Bài 15: Cho biểu thức M=\frac{x+\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2}\(M=\frac{x+\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2}\) và N=\frac{3x-\sqrt{x}-2}{x-2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-1}{2-\sqrt{x}}\(N=\frac{3x-\sqrt{x}-2}{x-2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-1}{2-\sqrt{x}}\) với x > 0 và x ≠ 4

a) Chứng minh N=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\(N=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

b) Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của P=\frac{M}{N}\(P=\frac{M}{N}\).

Bài 16: Cho biểu thức T=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\(T=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

a) Rút gọn gàng biểu thức T

b) Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của T.