Tứ giác nội tiếp | Chuyên đề Toán 9.

Tứ giác nội tiếp

A. Phương pháp giải

1. Một tứ giác sở hữu tư đỉnh phía trên một lối tròn trặn được gọi là tứ giác nội tiếp lối tròn trặn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

Quảng cáo

2. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo nhị góc đối lập vị .

3. Nếu nhập một tứ giác sở hữu tổng số đo nhị góc đối lập vị thì tứ giác tê liệt nội tiếp được lối tròn trặn.

4. Nếu một tứ giác lồi sở hữu nhị đỉnh kề nhau nằm trong coi cạnh chứa chấp nhị đỉnh còn sót lại bên dưới một góc thì tứ giác tê liệt nội tiếp được lối tròn trặn.

B. Bài luyện tự động luận

Bài 1: Cho ΔABC nhọn, những lối cao AD, BE, CF rời nhau bên trên H. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BCEF nội tiếp.

b) HA.HD = HB.HE = HC.HF.

Hướng dẫn giải

Quảng cáo

a) Ta sở hữu ∠BEC = ∠BFC = 90^o

Suy đi ra những điểm E, F nằm trong lệ thuộc lối tròn trặn 2 lần bán kính BC hoặc tứ giác BCEF nội tiếp.

b) Vẽ lối tròn trặn 2 lần bán kính BC. Xét ΔBHF và ΔCHE có:

+) ∠EBF = ∠ECF (hai góc nội tiếp nằm trong chắn ).

+) ∠FHB = ∠EHC(đối đỉnh).

Suy đi ra ΔBHF ∼ ΔCHE (g.g)

BH/CH = HF/HE hoặc HB.HE = HC.HF (1)

Chứng minh tương tự động tớ có:

HA.HD = HB.HE (2)

Từ (1) và (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF.

Bài 2: Cho ΔABC nhọn, lối cao AH. Các điểm M và N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của H bên trên AB, AC. Chứng minh rằng:

a) AM.AB = AN.AC.

b) Tứ giác BMNC nội tiếp.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ∠AMH = ∠ANH = 90^o (gt)

Suy đi ra những điểm M, N nằm trong lệ thuộc lối tròn trặn 2 lần bán kính AH nên:

∠AMN = ∠AHN (hai góc nội tiếp nằm trong chắn cung AN)

Mặt khác: ∠AHN = ∠ACH

Do tê liệt ΔAMN ∼ ΔACB (g.g) => AM/AC = AN/AB hoặc AM.AB = AN.AC.

b) Theo chứng tỏ câu a) tớ có:

∠AMN = ∠ACH

Suy đi ra ∠BMN + ∠ACH = ∠BMN + ∠AMN = 180^o

Vậy tứ giác BMNC nội tiếp.

Bài 3: Cho tam giác ABC sở hữu góc. Các điểm O, I theo thứ tự là tâm lối tròn trặn nước ngoài tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng tư điểm B, O, I, C nằm trong lệ thuộc một lối tròn trặn.

Hướng dẫn giải

Quảng cáo

Gọi D là uỷ thác điểm không giống của A của đường thẳng liền mạch AI với lối tròn trặn nước ngoài tiếp ΔABC .

Ta có: ∠BID = ∠IAB + ∠ABI = 50% ∠A + 50% ∠B

∠CID = ∠IAC + ∠ACI = 50% ∠A + 50% ∠C

Do đó: ∠BIC = ∠BID + ∠CID = 50% ∠A + 1/2∠B + 1/2∠C + 1/2∠A =1/2∠A + 90^o

Mặt khác: ∠BOC = 2∠A = 120^o.

Do tê liệt nhị điểm I và O nằm trong coi đoạn BC bên dưới những góc đều nhau. Trong khi nhị điểm I và O nằm trong lệ thuộc nửa mặt mũi phẳng lì chứa chấp A, bờ BC. Do tê liệt B, I, O, C nằm trong lệ thuộc một lối tròn trặn.

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn sở hữu ∠A > ∠B > ∠C. Đường tròn trặn nội tiếp tâm I xúc tiếp với cạnh AB, AC bên trên M và N. Gọi P.. và Q theo thứ tự là những uỷ thác điểm của CI, BI với đường thẳng liền mạch MN. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác INQC nội tiếp.

b) Tứ giác BPQC nội tiếp.

Hướng dẫn giải

a) Vì lối tròn trặn (I) xúc tiếp với AB, AC bên trên M và N nên AM = AN

=> ΔAMN cân nặng bên trên A.

Ta có: ∠CNQ = ∠ANM (đối đỉnh)

= (180^o - ∠A)/2 =(∠B + ∠C)/2

=∠IBC + ∠ICB = ∠CIQ

Tứ giác INQC sở hữu nhị điểm liên tục I và N nằm trong coi cạnh QC bên dưới những góc đều nhau nội tiếp được một lối tròn trặn.

b) Vì INQC là tứ giác nội tiếp nên ∠INC = ∠IQC

Vì AC xúc tiếp với lối tròn trặn (I) bên trên N nên IN ⊥ AC hoặc ∠INC = 90^o

Suy đi ra ∠IQC = 90^o (1)

Chứng minh tương tự động câu a) tớ sở hữu tứ giác IMPB nội tiếp

=> ∠IMB = ∠IPB = 90^o

Từ (1) và (2) suy ra: ∠BPC = ∠BQC = 90^o nên tứ giác BPQC nội tiếp lối tròn trặn 2 lần bán kính BC.

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD sở hữu ∠BAD = 90^o, sở hữu tâm là O. Gọi M, N, P.. theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của C lên BD, AD, AB. Chứng minh tư điểm M, N, P.., O nằm trong lệ thuộc một lối tròn trặn.

Hướng dẫn giải

Quảng cáo

Ta có: ∠CPA = ∠CNA = 90^o (gt) nên tứ giác ANCP nội tiếp lối tròn trặn (O) 2 lần bán kính AC.

Suy đi ra ∠PON = 2∠PCN

Lại có: ∠PCN + ∠NAP = 180^o

=> ∠PCN = 180^o - ∠NAP = ∠ABC (do AD // BC)

Do tê liệt ∠PON = 2∠ABC (1)

Mặt không giống ∠PMN = 180^o - (∠PMB + ∠NMD)

Mà tứ giác CDNM nội tiếp lối tròn trặn 2 lần bán kính CD nên:

∠NMD = ∠NCD = 90^o - ∠CDN = 90^o - ∠ABC

Lại sở hữu tứ giác BCMP nội tiếp lối tròn trặn 2 lần bán kính BC nên:

∠PMB = ∠PCB = 90^o - ∠ABC

=> ∠PCB = 180^o - (90^o - ∠ABC + 90^o - ∠ABC) = 2∠ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠PON = ∠PMN bởi vậy tứ giác POMN nội tiếp.

Tham khảo thêm thắt những Chuyên đề Toán lớp 9 khác:

• Góc sở hữu đỉnh bên phía trong, góc sở hữu đỉnh phía bên ngoài lối tròn
• Cung chứa chấp góc
• Tứ giác nội tiếp

Mục lục những Chuyên đề Toán lớp 9:

• Chuyên đề Đại Số 9
• Chuyên đề: Căn bậc hai
• Chuyên đề: Hàm số bậc nhất
• Chuyên đề: Hệ nhị phương trình hàng đầu nhị ẩn
• Chuyên đề: Phương trình bậc nhị một ẩn số
• Chuyên đề Hình Học 9
• Chuyên đề: Hệ thức lượng nhập tam giác vuông
• Chuyên đề: Đường tròn
• Chuyên đề: Góc với lối tròn
• Chuyên đề: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu

• Hơn đôi mươi.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 sở hữu đáp án