1. Các kỹ năng và kiến thức cần thiết nhớ
Hệ thức Vi-ét
Cho phương trình bậc nhị $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$
Nếu \({x_1},{x_2}\) là nhị nghiệm của phương trình thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
Ví dụ: Phương trình \(2x^2-5x+2=0\) với \( \Delta=9>0\) nên phương trình với nhị nghiệm \(x_1;x_2\).
Theo hệ thức Vi-ét tao có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ 5}}{2}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{2}{2}=1\end{array} \right..\)
Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
+) Xét phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$
Nếu phương trình với \(a + b + c = 0\) thì phương trình với 1 nghiệm là \({x_1} = 1,\) nghiệm cơ là \({x_2} = \dfrac{c}{a}.\)
Nếu phương trình với \(a - b + c = 0\) thì phương trình với 1 nghiệm là \({x_1} = - 1,\) nghiệm cơ là \({x_2} = - \dfrac{c}{a}.\)
+) Tìm nhị số biết tổng và tích của chúng : Nếu nhị số với tổng vì chưng $S$ và tích vì chưng $P$ thì nhị số này là nhị nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + Phường = 0$ (ĐK: ${S^2} \ge 4P$)
Ví dụ:
+ Phương trình \(2x^2-9x+7=0\) với \(a+b+c=2+(-9)+7=0\) nên với nhị nghiệm \(x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{7}{2}\)
+ Phương trình \(2x^2+9x+7=0\) với \(a-b+c=2-9+7=0\) nên với nhị nghiệm \(x_1=-1;x_2=-\dfrac{c}{a}=-\dfrac{7}{2}\)
2. Các dạng toán thông thường bắt gặp
Dạng 1: Không giải phương trình, tính độ quý hiếm biểu thức tương quan Một trong những nghiệm.
Phương pháp:
Bước 1 : Tìm ĐK nhằm phương trình với nghiệm : $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$. Từ cơ vận dụng hệ thức Vi-ét tao có : $S = {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}$ và $P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}$.
Bước 2 : Biến thay đổi biểu thức đối xứng Một trong những nghiệm của đề bài bác theo đòi tổng ${x_1} + {x_2}$ và tích ${x_1}{x_2}$, tiếp sau đó vận dụng bước 1.
Một số biểu thức đối xứng Một trong những nghiệm thông thường bắt gặp là :
+) $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}= {S^2} - 2P$
+) $B = x_1^3 + x_2^3$
$= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)= {S^3} - 3SP$
+) $C = x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2$
$= {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}= {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}$
+) $D = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| $
$= \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} $.
+)
$E = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}$
$= {S^2} - 4P $.
Dạng 2 : Giải phương trình bằng phương pháp nhẩm nghiệm
Phương pháp :
Xét phương trình bậc hai : $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$.
+) Nếu phương trình với $a + b + c = 0$ thì phương trình với 1 nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm cơ là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$
+ ) Nếu phương trình với $a - b + c = 0$ thì phương trình với 1 nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm cơ là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
+) Nếu ${x_1},{x_2}$ là nhị nghiệm của phương trình thì $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$.
Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc nhị trở nên nhân tử
Phương pháp :
Nếu tam thức bậc nhị $a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ với nhị nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tách trở nên nhân tử: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$.
Dạng 4 : Tìm nhị số lúc biết tổng và tích
Phương pháp :
Để mò mẫm nhị số $x,y$ lúc biết tổng $S = x + y$ và tích $P = xy$, tao thực hiện như sau:
Bước 1: Xét ĐK ${S^2} \ge 4P$. Giải phương trình ${X^2} - SX + Phường = 0$ nhằm mò mẫm những nghiệm ${X_1},{X_2}$.
Bước 2: Khi cơ những số cần thiết mò mẫm $x,y$ là $x = {X_1},hắn = {X_2}$ hoặc $x = {X_2},hắn = {X_1}$.
Dạng 5 : Bài toán tương quan cho tới vết những nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp :
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó:
1. Phương trình với nhị nghiệm ngược vết \( \Leftrightarrow ac < 0\).
2. Phương trình với nhị nghiệm phân biệt nằm trong vết \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\).
3. Phương trình với nhị nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\).
4. Phương trình với nhị nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right.\).
5. Phương trình với nhị nghiệm ngược vết nhưng mà nghiệm âm có mức giá trị vô cùng to hơn nghiệm dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac < 0\\S < 0\end{array} \right.\).
Dạng 6 : Xác lăm le ĐK của thông số nhằm nghiệm của phương trình vừa lòng ĐK mang đến trước.
Phương pháp :
Bước 1. Tìm ĐK nhằm phương trình với nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).
Bước 2. Từ hệ thức đang được mang đến và hệ thức Vi-ét, tìm ra ĐK của thông số.
Bước 3. Kiểm tra ĐK của thông số coi với vừa lòng ĐK ở bước 1 hay là không rồi Tóm lại.
3. Bài luyện về hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Câu 1: Chọn tuyên bố đích thị. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ với nhị nghiệm ${x_1};{x_2}$. Khi đó
A. $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
B. $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
C. $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
D. $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
Lời giải
Cho phương trình bậc nhị $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$ Nếu \({x_1},{x_2}\) là nhị nghiệm của phương trình thì
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
Đáp án A.
Câu 2: Chọn tuyên bố đích thị. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ với $a - b + c = 0$. Khi đó
A. Phương trình với 1 nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm cơ là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
B. Phương trình với 1 nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm cơ là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
C. Phương trình với 1 nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm cơ là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
D. Phương trình với 1 nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm cơ là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
Lời giải
+) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$có $a + b + c = 0$ thì phương trình với 1 nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm cơ là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$
+ ) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$có $a - b + c = 0$ thì phương trình với 1 nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm cơ là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
Đáp án C.
Câu 3: Cho nhị số với tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$. Khi cơ nhị số này là nhị nghiệm của phương trình nào là bên dưới đây?
A. ${X^2} - PX + S = 0$
B. ${X^2} - SX + Phường = 0$
C. $S{X^2} - X + Phường = 0$
D. ${X^2} - 2SX + Phường = 0$
Lời giải
Nếu nhị số với tổng vì chưng $S$ và tích vì chưng $P$ thì nhị số này là nhị nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + Phường = 0$ (ĐK: ${S^2} \ge 4P$)
Đáp án B.
Câu 4: Không giải phương trình, tính tổng nhị nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$
A. $\dfrac{1}{6}$
B. $3$
C. $6$
D. $7$
Lời giải
Phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$ với $\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.7 = 8 > 0$ nên phương trình với nhị nghiệm ${x_1};{x_2}$
Theo hệ thức Vi-et tao với ${x_1} + {x_2} = - \dfrac{{ - 6}}{1} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 6$
Đáp án C.
Câu 5: Tìm những độ quý hiếm của \(m\) nhằm phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\) với nhị nghiệm ngược vết.
A. $m < 2$
B. $m > 2$
C. $m = 2$
D. $m > 0$
Lời giải
Phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\)$\left( {a = 1;b = - 2\left( {m - 1} \right);c = - m + 2} \right)$
Nên phương trình với nhị nghiệm ngược vết Khi $ac < 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - m + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 2$
Vậy $m > 2$ là độ quý hiếm cần thiết mò mẫm.
Đáp án C.
Câu 6: Tìm nhị nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ tiếp sau đó phân tách nhiều thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau trở nên nhân tử.
A. ${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$ $A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
B. ${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$ $A = \left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
C. ${x_1} = - 1;{x_2} = \dfrac{5}{{18}};$ $A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x - \dfrac{5}{{18}}} \right)$
D. ${x_1} = 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$ $A = 18\left( {x - 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
Lời giải
Phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ với $a - b + c = 18 - 23 + 5 = 0$ nê phương trình với nhị nghiệm phân biệt là ${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}}$. Khi cơ $A = 18.\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$.
Đáp án A.
Câu 7: Tìm $u - v$ hiểu được $u + v = 15,uv = 36$ và $u > v$
A. $8$
B. $12$
C. $9$
D. $10$
Lời giải
Ta với $S = u + v = 15,Phường = uv = 36$ . Nhận thấy ${S^2} = 225 > 144 = 4P$ nên $u,v$ là nhị nghiệm của phương trình
${x^2} - 15x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\\x = 3\end{array} \right.$
Vậy $u = 12;v = 3$ (vì $u > v$) nên $u - v = 12 - 3 = 9$.
Đáp án C.
Câu 8: Biết rằng phương trình \({x^2} - \left( {2a - 1} \right)x - 4a - 3 = 0\) luôn luôn với nhị nghiệm ${x_1};{x_2}$ với từng $a$. Tìm hệ thức contact thân ái nhị nghiệm ko tùy thuộc vào \(a\).
A. $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5$
B. $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = - 5$
C. $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = 5$
D. $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = - 5$
Lời giải
Theo Vi-ét tao với \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2a - 1\\{x_1} \cdot {x_2} = - 4a - 3\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4a - 2\\{x_1}.{x_2} = - 4a - 3\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = - 5$
Vậy hệ thức cần thiết mò mẫm là $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = - 5$.
Đáp án D.